概率论是研究自然界和人类社会中随机现象数量规律的数学分支，本书通过大量的例子讲述了概率论的基础知识，主要内容有组合分析、概率论公理化、条件概率和独立性、离散和连续型随机变量、随机变量的联合分布、期望的性质、极限定理等。本书附有大量的练习，分为习题、理论习题和自检习题三大类，其中自检习题部分还给出全部解答。
本书作为概率论的入门书，适用于大专院校数学、统计、工程和相关专业(包括计算科学、生物、社会科学和管理科学)的学生阅读，也可供应用工作者参考。

“这是一本非常优秀的概率论入门教材，是我所见过的最好的一本。”
—— Nhu Nguyen（新墨西哥州立大学）
“本书示例丰富、实用，写作风格清新、流畅，解答详细、准确，是一本通俗易懂的教材……”　　　　　　　　 —— Robert Bauer（伊利诺伊大学厄巴纳-尚佩恩分校）
本书是经过锤炼的优秀教材，已在世界范围内畅销三十多年。在美国的概率论教材中，本书占有50%以上的市场，被华盛顿大学、斯坦福大学、普度大学、密歇根大学、约翰霍普金斯大学、得克萨斯大学等众多名校采用。国内很多高校也采用这本书作为教材或参考书，如北京大学、清华大学、华东师范大学、浙江大学、武汉大学、中央财经大学和上海财经大学等。
书中通过大量的例子系统介绍了概率论的基础知识及其广泛应用，内容涉及组合分析、条件概率、离散型随机变量、连续型随机变量、随机变量的联合分布、期望的性质、极限定理和模拟等。各章末附有大量的练习，还在书末给出自检习题的全部解答。这本极佳的入门教材，尤其适用于统计学、经管类和工程类专业的学生学习概率论知识。
Sheldon M. Ross 世界著名的应用概率专家和统计学家，现为南加州大学工业与系统工程系Epstein讲座教授。他于1968年在斯坦福大学获得统计学博士学位，在1976年至2004年期间于加州大学伯克利分校任教，其研究领域包括统计模拟、金融工程、应用概率模型、随机动态规划等。Ross教授创办了《Probability in the Engineering and Informational Sciences》杂志并一直担任主编，他的多种畅销教材均产生了世界性的影响，其中《统计模拟（第5版）》和《随机过程（第2版）》等均由机械工业出版社引进出版。

“我们看到概率论实际上只是将常识归结为计算，它使我们能够用理性的头脑精确地评价凭某种直观感受到的、往往又不能解释清楚的见解……引人注意的是，概率论这门起源于对机会游戏进行思考的科学，早就应该成为人类知识中最重要的组成部分……生活中那些最重要的问题绝大部分其实只是概率论的问题．”著名的法国数学家和天文学家拉普拉斯侯爵（人称“法国的牛顿”）如是说．尽管许多人认为，这位对概率论的发展作出过重大贡献的著名侯爵说话夸张了一些，但是概率论已经成为几乎所有的科学工作者、工程师、医务人员、法律工作者以及企业家们手中的基本工具已经成为事实．实际上，有见识的人们不再问：“是这样？”而是问：“有多大的概率是这样？”
　　本书是概率论的入门教材，读者对象是数学、统计、工程和其他学科专业（包括计算机科学、生物学、社会科学和管理科学）的学生．只需要读者具备初等微积分知识作为基础．本书试图介绍概率论的数学理论，同时通过大量例子来展示这门学科的广泛的应用．
　　第1章阐述了组合分析的基本原理，它是计算概率的最有用的工具．第2章介绍了概率论的公理体系，并且阐明如何应用这些公理计算各种概率．第3章讨论概率论中极为重要的两个概念，即事件的条件概率和事件间的独立性．通过一系列例子说明，当部分信息可利用时，条件概率就会发挥它的作用；即使在没有部分信息时，条件概率也可以使概率的计算变得容易．利用“条件”计算概率这一极为重要的技巧还将出现在第7章，在那里我们用它来计算期望．随机变量的概念在第4～6章引入．第4章讨论离散型随机变量，第5章讨论连续型随机变量，第6章讨论随机变量的联合分布．在第4章和第5章中讨论了两个重要概念，即随机变量的期望值和方差，并且对许多常见的随机变量，求出了相应的期望值和方差．
　　第7章进一步讨论了期望值的一些重要性质．书中引入了许多例子，解释如何利用随机变量和的期望值等于随机变量期望值的和这一重要规律来计算随机变量的期望值．本章中还有几节介绍条件期望（包括它在预测方面的应用）和矩母函数．本章最后一节介绍了多元正态分布，同时给出了来自正态总体的样本均值和样本方差的联合分布的简单证明．
　　在第8章我们介绍了概率论的主要的理论结果．特别地，我们证明了强大数定律和中心极限定理．在强大数定律的证明中，我们假定了随机变量具有有限的四阶矩，因为在这种假定之下，证明非常简单．在中心极限定理的证明中，我们假定了莱维连续性定理成立．在本章中，我们还介绍了若干概率不等式，如马尔可夫不等式、切比雪夫不等式和切尔诺夫界．在本章最后一节，我们给出用有相同期望值的泊松随机变量的相应概率去近似独立伯努利随机变量和的相关概率的误差界．
　　第9章阐述了一些额外的论题，如马尔可夫链、泊松过程以及信息编码理论初步，第10章介绍了统计模拟．与以前的版本一样，在每章末给出了三组练习题，它们被指定为习题、理论习题和自检习题．自检习题的完整解答在附录B给出，这部分练习题可以帮助学生检测他们对知识的掌握程度并为考试做准备．
新版变化
　　第8版继续对教材内容进行微调和优化，加入了很多新的习题和例子．内容的选取不仅要适合学生的兴趣，还要有助于学生建立概率直觉．为此，第1章例5d讨论了淘汰赛，第7章的例4k和例5i是多个赌徒破产问题的例子．新版最主要的变化是随机变量和的期望等于随机变量期望的和这一重要规律，在第4章首次出现（而不是旧版的第7章）．第4章还针对概率实验的样本空间有限时这一特殊情况，给出了这一规律的新的且初等的证明．
　　6.3节介绍独立随机变量的和，这一节也有一些变化．6.3.1节是新增的一节，推导独立且具有相同均匀分布的随机变量和的分布，并用所得到的结果证明了，具有（0，1）上均匀分布的独立随机变量，和大于1的那些随机变量的平均个数是e．6.3.5节也是新增的一节，推导具有独立几何分布但均值不同的随机变量和的分布．
致谢
　　Hossein Hamedani仔细审阅了本教材，对此我深表感谢．同时我还要感谢下列人员对于这一版的改进提出宝贵的建议：Amir Ardestani（德黑兰理工大学），Joe Blitzstein（哈佛大学），Peter Nuesch（洛桑大学），Joseph Mitchell（纽约州立大学石溪分校），Alan Chambless（精算师），Robert Kriner, Israel David（本古里安大学），T. Lim（乔治·梅森大学），Wei Chen（罗格斯大学），D. Monrad（伊利诺伊大学），W. Rosenberger（乔治·梅森大学），E. Ionides（密歇根大学），J. Corvino（拉法叶学院），T. Seppalainen（威斯康星大学）．
　　最后，我要感谢下列对本书各个版本给出很多有价值的意见的人们．其中，对第8版的改进给出意见的审稿人，在其名字前面加了星号．
　　K. B. Athreya（爱荷华州立大学）
　　Richard Bass（康涅狄格大学）
　　Robert Bauer（伊利诺伊大学厄巴纳–尚佩恩分校）
　　Phillip Beckwith（密歇根科技大学）
　　Arthur Benjamin（哈维姆德学院）
　　Geoffrey Berresford（长岛大学）
　　Baidurya Bhattacharya（特拉华大学）
　　Howard Bird（圣克劳德州立大学）
　　Shahar Boneh（丹佛城市州立学院）
　　Jean Cadet（纽约州立大学石溪分校）
　　Steven Chiappari（圣克拉拉大学）
　　Nicolas Christou（加州大学洛杉矶分校）
　　James Clay（亚利桑那大学图森分校）
　　Francis Conlan（圣克拉拉大学）
　　﹡Justin Corvino（拉法叶学院）
　　Jay DeVore（圣路易斯-奥比斯波的加州技术大学）
　　Scott Emerson（华盛顿大学）
　　Thomas R. Fischer（德州农机大学）
　　Anant Godbole（密歇根科技大学）
　　Zakkhula Govindarajulu（肯塔基大学）
　　Richard Groeneveld（爱荷华州立大学）
　　Mike Hardy（麻省理工学院）
　　Bernard Harris（威斯康星大学）
　　Larry Harris（肯塔基大学）
　　David Heath（康奈尔大学）
　　Stephen Herschkorn（罗格斯大学）
　　Julia L.Higle（亚利桑那大学）
　　Mark Huber（杜克大学）
　　﹡Edward Ionides（密歇根大学）
　　Anastasia Ivanova（北卡罗来纳大学）
　　Hamid Jafarkhani（加州大学厄文分校）
　　Chuanshu Ji（北卡罗来纳大学 Chapel Hill分校）
　　Robert Keener（密歇根大学）
　　Fred Leysieffer（佛罗里达州立大学）
　　Thomas Liggett（加州大学洛杉矶分校）
　　Helmut Mayer（佐治亚大学）
　　Bill McCormick（佐治亚大学）
　　Ian McKeague（佛罗里达州立大学）
　　R. Miller（斯坦福大学）
　　﹡Ditlev Monrad（伊利诺伊大学）
　　Robb J. Muirhead（密歇根大学）
　　Joe Naus（罗格斯大学）
　　Nhu Nguyen（新墨西哥州立大学）
　　Ellen O'Brien（乔治·梅森大学）
　　N.U. Prabhu（康奈尔大学）
　　Kathryn Prewitt（亚利桑那州立大学）
　　Jim Propp（威斯康星大学）
　　﹡William F. Rosenberger（乔治·梅森大学）
　　Myra Samuels（普度大学）
　　I. R. Savage（耶鲁大学）
　　Art Schwartz（密歇根大学安阿伯分校）
　　Therese Shelton（西南大学）
　　Malcolm Sherman（纽约州立大学奥尔巴尼分校）
　　Murad Taqqu（波士顿大学）
　　Eli Upfal（布朗大学）
　　Ed Wheeler（田纳西大学）
　　Allen Webster（布拉德利大学）
　　smross@usc.edu

数学

“这是一本非常优秀的概率论入门教材，是我所见过的最好的一本。”
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　—— Nhu Nguyen（新墨西哥州立大学）
“本书示例丰富、实用，写作风格清新、流畅，解答详细、准确，是一本通俗易懂的教材……”　　　　　　　　 —— Robert Bauer（伊利诺伊大学厄巴纳-尚佩恩分校）

本书是经过锤炼的优秀教材，已在世界范围内畅销三十多年。在美国的概率论教材中，本书占有50%以上的市场，被华盛顿大学、斯坦福大学、普度大学、密歇根大学、约翰霍普金斯大学、得克萨斯大学等众多名校采用。国内很多高校也采用这本书作为教材或参考书，如北京大学、清华大学、华东师范大学、浙江大学、武汉大学、中央财经大学和上海财经大学等。

书中通过大量的例子系统介绍了概率论的基础知识及其广泛应用，内容涉及组合分析、条件概率、离散型随机变量、连续型随机变量、随机变量的联合分布、期望的性质、极限定理和模拟等。各章末附有大量的练习，还在书末给出自检习题的全部解答。这本极佳的入门教材，尤其适用于统计学、经管类和工程类专业的学生学习概率论知识。

Contents Preface ix
1 Combinatorial Analysis 1
1.1Introduction 1
1.2The Basic Principle of Counting 2
1.3 Permutations 3
1.4 Combinations 5
1.5 Multinomial Coefficients 9
1.6 The Number of Integer Solutions of Equations 12
2 Axioms of Probability 21
2.1 Introduction 21
2.2 Sample Space and Events 21
2.3 Axioms of Probability 25
2.4 Some Simple Propositions 28
2.5 Sample Spaces Having Equally Likely Outcomes 32
2.6 Probability as a Continuous Set Function 42
2.7 Probability as a Measure of Belief 46
3 Conditional Probability and Independence 56
3.1 Introduction 56
3.2 Conditional Probabilities 56
3.3 Bayes’s Formula 62
3.4 Independent Events 75
3.5 P(·|F ) Is a Probability 89
4 Random Variables 112
4.1 Random Variables 112
4.2 Discrete Random Variables 116
4.3 Expected Value 119
4.4 Expectation of a Function of a Random Variable 121
4.5 Variance 125
4.6 The Bernoulli and Binomial Random Variables 127
4.7 The Poisson Random Variable 135
4.8 Other Discrete Probability Distributions 147
4.9 Expected Value of Sums of Random Variables 155
4.10 Properties of the Cumulative Distribution Function 159
5 Continuous Random Variables 176
5.1 Introduction 176
5.2 Expectation and Variance of Continuous Random Variables 179
5.3 The Uniform Random Variable 184
5.4 Normal Random Variables 187
5.5 Exponential Random Variables 197
5.6 Other Continuous Distributions 203
5.7 The Distribution of a Function of a Random Variable 208
6 Jointly Distributed Random Variables 220
6.1 Joint Distribution Functions 220
6.2 Independent Random Variables 228
6.3 Sums of Independent Random Variables 239
6.4 Conditional Distributions: Discrete Case 248
6.5 Conditional Distributions: Continuous Case 250
6.6 Order Statistics 256
6.7 Joint Probability Distribution of Functions Approximating a Sum of Independent of Random Variables 260
6.8 Exchangeable Random Variables 267
7 Properties of Expectation 280
7.1 Introduction 280
7.2 Expectation of Sums of Random　Variables 281
7.3 Moments of the Number of Events that　Occur 298
7.4 Covariance, Variance of Sums, and Correlations 304
7.5 Conditional Expectation 313
7.6 Conditional Expectation and　Prediction 330
7.7 Moment Generating Functions 334
7.8 Additional Properties of Normal Random Variables 345
7.9 General Definition of Expectation 349
8 Limit Theorems 367
8.1 Introduction 367
8.2 Chebyshev’s Inequality and the Weak Law of Large Numbers 367
8.3 The Central Limit Theorem 370
8.4 The Strong Law of Large Numbers 378
8.5 Other Inequalities 382
8.6 Bounding the Error Probability When Approximatinga Sum of Independent Bernoulli Random Variablesbya Poisson Random Variable 388
9 Additional Topics in Probability395
9.1 The Poisson Process 395
9.2 Markov Chains397
9.3 Surprise,Uncertainty,and Entropy402
9.4 Coding Theoryand Entropy405
10 Simulation 415
10.1 Introduction 415
10.2 General Techniques for Simulating Continuous Random Variables417
10.3 Simulating from Discrete Distributions424
10.4 Variance Reduction Techniques 426
Answers to Selected Problems433
Solutionsto Self-Test Problems and Exercises435
Index 465
Common Discrete Distributions inside front cover
Common Continuous Distributions inside back cover