本书取材于作者在多所国际知名大学讲授“小波信号处理”课程时的讲义，以十分直观和近乎谈话的方式，以信号处理的问题为背景，叙述了小波的理论和应用，使读者可以透过复杂的数学公式来窥探小波的精髓，而又不致陷入小波纯数学理论的迷宫。

Mallat的教材是该领域无可争议的经典参考书，它是唯一一本能够从深度和广度全面覆盖该领域关键资料的著作。
——Laurent Demanet，斯坦福大学
Stéphane Mallat 目前是法国巴黎综合理工大学应用数学系教授，曾供职于纽约大学库朗数学科学研究所、麻省理工学院电子工程系以及特拉维夫大学应用教学系。
本书取材于作者在多所国际知名大学讲授“小波信号处理”课程时的讲义，全面论述了稀疏表示的重要概念、技术和应用，反映了该主题在当今信号处理领域所扮演的关键作用。书中清楚地给出了傅里叶、小波和时频变换的标准表示，以及用快速算法构造的正交基。作者在解释了稀疏的主要概念后将其运用于信号压缩、噪声衰减和逆问题，同时给出了冗余字典、超分辨和压缩感知中的稀疏表示。
全书以信号处理的问题为背景，叙述了小波的理论和应用，使读者可以透过复杂的数学公式来窥探小波的精髓，而又不致陷入小波纯数学理论的迷宫。本书是按研究生教材的要求编写的，既可以让应用数学系的学生了解数学公式的工程意义，也可以让计算机及电子工程系的学生了解工程问题的数学描述。对于小波理论与应用的研究人员，本书更是一本极具价值的参考书。
本书网站http://www.ceremade.dauphine.fr/~peyre/wavelet-tour/上有本书中的插图、勘误等。
字典中的稀疏信号表示。
压缩感知、超分辨和盲源分离。
Curvelet和Bandlet的几何图像处理。
提升小波变换用于计算机图像处理。
时频语音信号处理和去噪。
JPEG 2000图像压缩。
新增和修订的练习。

我总觉得学术团体和鱼群之间有着惊人的相似之处。我们通过会议和论文进行交流、合作并互相影响；当一条全球性的技术轨线从个别人的贡献中浮现出来的时候，我们就往同一个方向“游动”。有些人喜欢待在鱼群的中心，有些人则更乐于到处漫游，还有少数人在前方朝多个方向冲浪。为了避免在日趋狭小和过于专业化的领域中枯萎，学术团体需要不断前进。计算调和分析依然生气勃勃，因为它有小波所不能及之处。撰写这样的书类似于解码鱼群的运动轨迹并沿途收集那些业经发现的珍珠。虽然沿用以前版本的书名，但该版中小波不再是主要话题。和傅里叶变换一样，小波只是一个重要的工具。稀疏表示和处理是该版的核心。
　　小波、脊小波、bandlet等。——译者注
　　20世纪80年代，许多研究者把注意力放在建立时频分解上，他们设法避开不确定性障碍，并希望发现信号的最佳表示。在这个过程中，小波正交基出现了，通过和物理学、数学的通力合作，它开辟了崭新的前景。用Xlet设计正交基应用于压缩和降噪成为一个时髦的研究课题，正交基与逼近、稀疏的联系也变得更为明显。现在，寻求稀疏已接掌了主导地位，并通向一些新领域，在这些领域中，正交基被由某些波函数形成的冗余字典所代替。
　　在过去的七年中，我曾面临一些工业领域的问题。我曾满怀天真和激情，凭借对bandlet的了解和丰富的数学知识，和Christophe Bernard、Jérome Kalifa以及Erwan Le Pennec一起开启了我们的工程应用项目。经过一段时间我们才发现，工程领域的良才只需三个月就设计出能实时运作的稳健算法，我们却习惯用三年的时间来著述前途光明的想法。然而，我们挺过来了，因为在工业领域中，数学是信号处理革新的主要源泉。半导体技术提供了惊人的计算能力和适应性；但是，专门算法通常难以适应大规模情况，而数学大大加速了“试验和误差”发展进程。稀疏性减少了计算、所需内存和数据通信。数学带来了美，然而，理解数学并非可望而不可即之事。对于日趋复杂的信息处理设备来说，理解数学是必需的。
新增内容
　　将稀疏性作为该书的核心意味着重写很多段落并增添章节。第12章和第13章是新增的，这两章介绍了冗余字典中的稀疏表示、逆问题、超分辨率和压缩感知。下面是第3版新增内容：
　　Radon变换和断层影像技术
　　曲面和有界区域上的小波提升和快速计算
　　JPEG-2000图像压缩
　　去噪的块取阈值方法
　　利用自适应三角剖分、curvelet和bandlet的几何表示
　　冗余字典中的稀疏逼近（利用追踪算法）
　　冗余字典中的降噪（利用模型选择）
　　字典中稀疏逼近支集的精确恢复
　　多通道信号表示和处理
　　字典学习
　　逆问题和超分辨率
　　压缩感知
　　盲源分离
教学
　　本书可作为研究生教材。事实上，本书是在电子工程系和应用数学系的教学过程中渐次发展和逐步完善的。还有一个新的网站，它提供了用于重复实验所需的软件和习题解答，此外，还有演示文稿等教学材料（附有插图和MATLAB软件），网址为http://wavelet-tour.com。
　　每章后面都新增了一些练习题，练习题按难度分等级：1级是课程内容的直接运用；2级需要一定的思考；3级包括一些技术性推导；4级是一些研究层面的课题，可作为期末课程项目或独立研究的主题。网站中有更多的练习和课题。
稀疏课程纲要
　　傅里叶变换和通过线性采样逼近实现的模数转换为所有课程提供了一个共同的基础（第2章和第3章）。这两章介绍了基本的信号表示方法并对以后要用到的重要数学工具和算法工具进行复习。之后，我们可以探究很多学术路线来讲授信号稀疏处理。下面列出若干主题（它们确定了课程结构的方向）及其涵盖的要素。
　　基稀疏表示及应用：
　　线性和非线性基逼近的原理（第9章）
　　Lipschitz正则性和小波系数衰减（第6章）
　　小波基（第7章）
　　线性和非线性小波基逼近的性质（第9章）
　　图像小波压缩（第10章）
　　线性和非线性对角去噪（第11章）
　　稀疏时频表示：
　　用于音频处理的时频小波和窗口傅里叶脊（第4章）
　　局部余弦基（第8章）
　　线性和非线性基逼近（第9章）
　　音频压缩（第10章）
　　音频去噪和块取阈值（第11章）
　　在冗余时频字典中用最佳基或追踪算法进行压缩和去噪（第12章）
　　稀疏信号估计：
　　Bayes估计与“极小极大”估计和线性与非线性估计（第11章）
　　小波基（第7章）
　　线性和非线性基逼近（第9章）
　　阈值估计（第11章）
　　“极小极大”最优性（第11章）
　　冗余字典中去噪的模型选择（第12章）
　　压缩感知（第13章）
　　稀疏压缩和信息论：
　　小波正交基（第7章）
　　线性和非线性基逼近（第9章）
　　压缩和基的稀疏变换编码（第10章）
　　冗余字典压缩（第12章）
　　压缩感知（第13章）
　　盲源分离（第13章）
　　字典表示和逆问题：
　　框架和Riesz基（第5章）
　　线性和非线性基逼近（第9章）
　　理想冗余字典逼近（第12章）
　　追踪算法和字典不相干（第12章）
　　线性逆估计和逆问题的阈值估计子（第13章）
　　超分辨率和盲源分离（第13章）
　　压缩感知（第13章）
　　几何稀疏处理：
　　时频谱线和脊（第4章）
　　框架和Riesz基（第5章）
　　利用小波极大值的多尺度边缘表示（第6章）
　　基的稀疏逼近支集（第9章）
　　利用几何正则性、curvelet和bandlet的逼近（第9、12章）
　　稀疏信号压缩和几何比特预算（第10、12章）
　　稀疏逼近支集的精确恢复（第12章）
　　超分辨率（第13章）
致谢
　　第2版的部分内容在该版中没有变化，特别是那些我尊为权威的人们留下的印迹。对于Ruzena Bajcsy和Yves Meyer，我一如既往地心怀感激。
　　在项目启动伊始的高压中，我与三位才华横溢且友善宽厚的同事共同度过了过去的几年，他们是Christophe Bernard、Jérome Kalifa和Erwan Le Pennec——这是一段美好的时光。最终的调味汁混合了我们各人所调制的东西，为我们的个性增添了新的风味。我现在依然在发掘并得益于这些风味，衷心感谢他们。
　　该版也是与Gabriel Peyré协力合作的结晶。他不但使风味变化成为可能，而且使变化过程颇有趣味。我衷心感谢他非凡的工作和无私的帮助。

Stéphane Mallat

电子与电气工程

Mallat的教材是该领域无可争议的经典参考书，它是唯一一本能够从深度和广度全面覆盖该领域关键资料的著作。
——Laurent Demanet，斯坦福大学

这本经典教材的全新版本全面论述了稀疏表示的重要概念、技术和应用，反映了该主题在当今信号处理领域所扮演的关键作用。书中清楚地给出了傅里叶、小波和时频变换的标准表示，以及用快速算法构造的正交基。作者在解释了稀疏的主要概念后将其运用于信号压缩、噪声衰减和逆问题，同时给出了冗余字典、超分辨和压缩感知中的稀疏表示。
全书以十分直观和近乎谈话的方式，以信号处理的问题为背景，叙述了小波的理论和应用，使读者可以透过复杂的数学公式来窥探小波的精髓，而又不致陷入小波纯数学理论的迷官。本书是按研究生教材的要求编写的，既可以让应用数学系的学生了解数学公式的工程意义，也可以让计算机及电子工程系的学生了解工程问题的数学描述。对于小波理论与应用的研究人员，本书更是一本极具价值的参考书。
本书网站http://www.ceremade.dauphine.fr/~peyre/wavelet-tour/上有本书中的插图、勘误等。
　本版新增内容
 字典中的稀疏信号表示。
 压缩感知、超分辨和源分离。
 曲线波和条带波的几何图像处理。
 提升小波变换用于计算机图像处理。
 时频语音信号处理和去噪。
 JPEG 2000图像压缩。
 新增和修订的练习。

（法）Stephane Mallat 等著 巴黎综合理工大学：Stephane Mallat 目前是法国巴黎综合理工大学应用数学系教授，曾供职于纽约大学库朗数学科学研究所。他还创立了一家图像处理半导体公司，并担任该公司的CEO。

戴道清 杨力华 译：暂无简介

原书第2版中译本于2002年9月出版，将近十年过去了，该中译本在国内产生了较大的影响，被多所学校选做理工科相关专业的研究生教材和参考书，并对我国小波分析学科的发展起到了十分重要的推动作用。随着该学科的发展和新思想的不断融入，尤其是近几年蓬勃发展的基于压缩感知的稀疏表示理论，为传统的以基表示为主基调的小波分析之研究注入了新的活力，信号的小波稀疏表示及其相关的非线性逼近算法成为该领域的核心问题。英文版第3版即以稀疏表示为主线，并冠书名副标题为The Sparse Way。
　　本中译本是在第2版中译本的基础上按英文版第3版翻译的。具体分工是：前言、目录、附录、参考文献以及第4、6、7、9、12章由杨力华承担，第1～3、5、8、10、11、13章由戴道清承担。此次翻译也修改了第2版翻译中的一些纰误。
　　感谢机械工业出版社编辑迟振春、王春华和佘洁女士。她们认真细致，帮助我们修改了一些新发现的纰误，其工作令人钦佩。
　　部分博士研究生为本书的翻译也提供了帮助，他们是（按拼音排序）：何永滔、黄超、黄健峰、黄可坤、赖兆荣、李洽、李小薪、刘亦书、吴梦云、杨利军、张晓飞、张娜、朱媛，在此向他们表示衷心的感谢。
　　鉴于我们水平有限，时间仓促，难免出现翻译错误，希望读者批评指正。
　　本翻译工作得到国家自然科学基金资助（基金号：11071261，11171354，10771220,90920007，60873088）。

译　者
2011年8月于中山大学

译者序
前言
符号
第1章　稀疏表示1
　1.1　计算调和分析1
　　1.1.1　傅里叶王国1
　　1.1.2　小波基2
　1.2　基的逼近与处理4
　　1.2.1　线性逼近的采样5
　　1.2.2　稀疏的非线性逼近6
　　1.2.3　压缩7
　　1.2.4　去噪8
　1.3　时频字典10
　　1.3.1　Heisenberg不确定性10
　　1.3.2　窗口傅里叶变换11
　　1.3.3　连续小波变换11
　　1.3.4　时频的标准正交基12
　1.4　冗余字典的稀疏性14
　　1.4.1　框架分解与合成14
　　1.4.2　理想的字典逼近14
　　1.4.3　字典中的追踪15
　1.5　逆问题16
　　1.5.1　对角逆估计17
　　1.5.2　超分辨率和压缩感知18
　1.6　阅读指南19
　　1.6.1　可重现的计算科学19
　　1.6.2　阅读线路图19
第2章　傅里叶王国21
　2.1　线性时不变滤波21
　　2.1.1　脉冲响应21
　　2.1.2　传递函数22
　2.2　傅里叶积分22
　　2.2.1　L1（R）上的傅里叶变换22
　　2.2.2　L2（R）上的傅里叶变换24
　　2.2.3　例子25
　2.3　性质27
　　2.3.1　正则性与衰减性27
　　2.3.2　测不准原理28
　　2.3.3　全变差30
　2.4　二维傅里叶变换34
　2.5　习题36
第3章　数字化革命38
　3.1　模拟信号采样38
　　3.1.1　Shannon-Whittaker采样定理38
　　3.1.2　混叠40
　　3.1.3　一般采样和线性模拟转换42
　3.2　离散时不变滤波器46
　　3.2.1　脉冲响应与传递函数46
　　3.2.2　傅里叶级数47
　3.3　有限信号49
　　3.3.1　循环卷积50
　　3.3.2　离散傅里叶变换50
　　3.3.3　快速傅里叶变换51
　　3.3.4　快速卷积52
　3.4　离散图像处理53
　　3.4.1　二维采样定理53
　　3.4.2　离散图像滤波54
　　3.4.3　循环卷积与傅里叶基55
　3.5　习题56
第4章　时频会师59
　4.1　时频原子59
　4.2　窗口傅里叶变换61
　　4.2.1　完备性和稳定性63
　　4.2.2　窗函数的选取64
　　4.2.3　离散窗口傅里叶变换66
　4.3　小波变换67
　　4.3.1　实小波67
　　4.3.2　解析小波70
　　4.3.3　离散小波74
　4.4　瞬时频率的时频几何75
　　4.4.1　解析瞬时频率75
　　4.4.2　窗口傅里叶脊77
　　4.4.3　小波脊84
　4.5　二次时频能量89
　　4.5.1　Wigner-Ville分布89
　　4.5.2　干扰性和非负性92
　　4.5.3　Cohen类95
　　4.5.4　离散Wigner-Ville分布的计算98
　4.6　习题99
第5章　框架101
　5.1　框架与Riesz基101
　　5.1.1　稳定分解与合成算子101
　　5.1.2　对偶框架与拟逆103
　　5.1.3　对偶框架分解与合成计算105
　　5.1.4　框架投影子与再生核108
　　5.1.5　平移不变框架110
　5.2　平移不变二进小波变换111
　　5.2.1　二进小波设计112
　　5.2.2　àTrous算法114
　5.3　下采样小波框架116
　5.4　窗口傅里叶框架118
　　5.4.1　紧框架119
　　5.4.2　一般框架120
　5.5　图像的多尺度方向框架122
　　5.5.1　方向小波框架122
　　5.5.2　curvelet框架126
　5.6　习题130
第6章　小波聚焦133
　6.1　Lipschitz正则性133
　　6.1.1　Lipschitz的定义与傅里叶分析133
　　6.1.2　小波消失矩135
　　6.1.3　用小波度量正则性137
　6.2　小波变换模极大142
　　6.2.1　奇异性检测142
　　6.2.2　二进极大表示147
　6.3　多尺度边缘检测150
　　6.3.1　图像的小波极大151
　　6.3.2　快速多尺度边缘计算156
　6.4　多分形158
　　6.4.1　分形集与自相似函数158
　　6.4.2　奇异谱161
　　6.4.3　分形噪声165
　6.5　习题169
第7章　小波基171
　7.1　正交小波基171
　　7.1.1　多分辨率逼近171
　　7.1.2　尺度函数173
　　7.1.3　共轭镜像滤波器175
　　7.1.4　最终得到哪些正交小波181
　7.2　小波基类184
　　7.2.1　选择小波184
　　7.2.2　Shannon、Meyer和Battle-Lemarié小波188
　　7.2.3　Daubechies紧支集小波190
　7.3　小波与滤波器组194
　　7.3.1　快速正交小波变换194
　　7.3.2　完全重构滤波器组197
　　7.3.3　2(Z)的双正交基199
　7.4　双正交小波基201
　　7.4.1　双正交小波基的构造201
　　7.4.2　双正交小波设计203
　　7.4.3　紧支集双正交小波204
　7.5　区间上的小波基207
　　7.5.1　周期小波208
　　7.5.2　折叠小波209
　　7.5.3　边界小波211
　7.6　多尺度插值214
　　7.6.1　插值和采样定理214
　　7.6.2　插值小波基218
　7.7　可分离小波基221
　　7.7.1　可分离多分辨率222
　　7.7.2　二维小波基223
　　7.7.3　快速二维小波变换227
　　7.7.4　更高维的小波基228
　7.8　提升小波229
　　7.8.1　非固定网格上的双正交基229
　　7.8.2　提升格式231
　　7.8.3　梅花形小波基235
　　7.8.4　有界区域与曲面上的小波238
　　7.8.5　用提升进行快速小波变换241
　7.9　习题243
第8章　小波包与局部余弦基247
　8.1　小波包247
　　8.1.1　小波包树247
　　8.1.2　时频局部化251
　　8.1.3　特殊小波包基255
　　8.1.4　小波包滤波器组257
　8.2　图像小波包258
　　8.2.1　小波包四叉树258
　　8.2.2　可分离滤波器组260
　8.3　块变换261
　　8.3.1　块基261
　　8.3.2　余弦基262
　　8.3.3　离散余弦基264
　　8.3.4　快速离散余弦变换265
　8.4　重叠正交变换267
　　8.4.1　重叠投影子267
　　8.4.2　重叠正交基271
　　8.4.3　局部余弦基273
　　8.4.4　离散重叠变换276
　8.5　局部余弦树278
　　8.5.1　余弦基的二叉树278
　　8.5.2　离散基的树280
　　8.5.3　图像余弦四叉树280
　8.6　习题281
第9章　逼近283
　9.1　线性逼近283
　　9.1.1　采样和逼近误差283
　　9.1.2　线性傅里叶逼近285
　　9.1.3　基于小波的多分辨率逼近误差287
　　9.1.4　Karhunen-Loève逼近291
　9.2　非线性逼近293
　　9.2.1　非线性逼近误差294
　　9.2.2　小波自适应网格296
　　9.2.3　Besov空间和有界变差空间的逼近299
　9.3　图像的稀疏表示302
　　9.3.1　小波图像逼近302
　　9.3.2　几何图像模型和自适应三角剖分307
　　9.3.3　curvelet逼近311
　9.4　习题312
第10章　压缩314
　10.1　变换编码314
　　10.1.1　现状314
　　10.1.2　标准正交基下的压缩315
　10.2　量化失真率316
　　10.2.1　熵编码316
　　10.2.2　标量量化321
　10.3　高比特率压缩323
　　10.3.1　比特分配323
　　10.3.2　最优基与Karhunen-Loève基325
　　10.3.3　透明音频码327
　10.4　稀疏信号压缩329
　　10.4.1　失真率和小波图像编码330
　　10.4.2　嵌入式变换编码336
　10.5　图像压缩标准338
　　10.5.1　JPEG块余弦编码338
　　10.5.2　JPEG-2000小波编码341
　10.6　习题346
第11章　去噪348
　11.1　加性噪声的估计348
　　11.1.1　Bayes估计348
　　11.1.2　极小极大估计354
　11.2　基下的对角估计356
　　11.2.1　使用Oracle的对角估计356
　　11.2.2　取阈值估计359
　　11.2.3　阈值加细363
　11.3　稀疏表示下的取阈值方法366
　　11.3.1　小波取阈值366
　　11.3.2　小波与curvelet图像去噪370
　　11.3.3　音频的时频取阈值去噪372
　11.4　非对角块取阈值374
　　11.4.1　基与框架下的块取阈值374
　　11.4.2　小波块取阈值378
　　11.4.3　时频音频块取阈值379
　11.5　极小极大最优性去噪380
　　11.5.1　线性对角极小极大估计381
　　11.5.2　正交对称集合上的取阈值最优性383
　　11.5.3　用小波估计的近似极小极大387
　11.6　习题395
第12章　冗余字典中的稀疏性398
　12.1　字典中理想的稀疏处理398
　　12.1.1　最佳M项逼近398
　　12.1.2　通过支集编码进行压缩400
　　12.1.3　用字典中的支集选择去噪401
　12.2　标准正交基字典405
　　12.2.1　最佳基中的逼近、压缩和去噪405
　　12.2.2　树状字典中的快速最佳基搜索406
　　12.2.3　小波包和局部余弦最佳基408
　　12.2.4　用于几何图像正则性的bandlet412
　12.3　贪婪匹配追踪419
　　12.3.1　匹配追踪419
　　12.3.2　正交匹配追踪423
　　12.3.3　Gabor字典424
　　12.3.4　相干匹配追踪去噪428
　12.4　11追踪430
　　12.4.1　基追踪430
　　12.4.2　11拉格朗日追踪433
　　12.4.3　11极小化的计算436
　　12.4.4　稀疏合成与分解和全变差正则化440
　12.5　追踪恢复443
　　12.5.1　稳定性和非相干性443
　　12.5.2　利用匹配追踪恢复支集444
　　12.5.3　利用11追踪恢复支集448
　12.6　多通道信号451
　　12.6.1　通过在基中取阈值来逼近和去噪451
　　12.6.2　多通道追踪452
　12.7　学习字典454
　12.8　习题455
第13章　逆问题458
　13.1　线性逆估计458
　　13.1.1　二次Tikhonov正则化方法459
　　13.1.2　奇异值分解459
　13.2　逆问题的取阈值估计子461
　　13.2.1　近奇异向量基下的取阈值461
　　13.2.2　取阈值反卷积465
　13.3　超分辨率468
　　13.3.1　稀疏超分辨率估计468
　　13.3.2　稀疏尖峰反卷积472
　　13.3.3　缺失数据的恢复474
　13.4　压缩感知478
　　13.4.1　随机观测的不相干性479
　　13.4.2　基于压缩感知的逼近483
　　13.4.3　压缩感知的应用488
　13.5　盲源分离489
　　13.5.1　盲混合矩阵估计490
　　13.5.2　盲源分离494
　13.6　习题495
附录A　数学知识补充496
参考文献504