本书从七个方面介绍了计算机程序的数学基础和原理，并以“同构”概念为线索揭示出编程本质上是和数学同构的。这七个方面分别是：数字、递归、对称、范畴、融合、无穷、悖论。第1章“数字”介绍皮亚诺算术公理系统。通过5条公理，构筑了计算机程序大厦的基石。通过单向链表，斐波那契数列等例子，展示了和自然数同构的计算结构。第2章介绍递归。通过欧几里得算法作为开端，把递归的数学原理构建在Lambda演算和Y组合子之上。第3章通过对称介绍群、环、域等抽象代数结构，并解释伽罗瓦理论这一抽象思维的明珠。第4章介绍范畴论。把列表、异常、多态、类型系统、复合数据结构等众多编程概念构筑在范畴论的基础上。第5章介绍融合律。它是进行算法推导和优化的有力工具。第6章介绍无穷。给出了康托尔的无穷集合论和超限数概念，介绍了编程中流的概念和无穷的关系。第7章以罗素悖论、可计算性和哥德尔不完全性定理结束本书。介绍了计算能力的边界和对编程基础哲学的影响。
从数字、递归、对称、范畴、融合、无穷、悖论七个方面介绍了计算机程序的数学基础和原理
数学
赵俊民 北京荣耀终端有限公司软件架构师
培根言：“数学是思维的体操。”而编程是一项高度复杂的思维活动。学习数学思想对编程的益处不言而喻。本书作者阅读了大量的数学典籍，以同构视角从中挑选了诸如递归、对称等精妙的数学思想，构思成书呈现给大家，非常难得！这是一本浓缩思想的书，言简意赅，值得我们细细品味。
李曲 浙江工业大学计算机学院教师
本书不仅把代数系统中深奥的同构理论讲解得完整透彻，还把数学发展的历史脉络交代得清清楚楚，特别是把数学理论应用到实际生活的方方面面，让我作为一个数学爱好者受益匪浅。此书如今得以出版，能让更多数学爱好者有机会看到，着实令人开心。
chirsz GitHub读者
本书以浅显易懂的文字将数理逻辑、抽象代数和函数式编程的知识娓娓道来，这是我读过的最好的范畴论入门书籍，每个计算机相关专业的本科生都应该读一读这本书。
余晟 《正则指引》作者
初读这本书，感觉是在看大学教材，不过大学教材很少有这么多生动的故事来烘托和关联。细读这本书，才发觉现实开发中的许多任务原来可以做得更有趣也更花哨，就算要玩点把戏也不会被人一眼看穿。觉得本书太复杂也不要紧，不妨先浏览一遍，只要大致了解书中讲了什么就足够，然后常备在案头，需要的时候按图索骥，在数学方面绝对能超越大部分同行了。
目录
第1章 数字
1.1 数的诞生
1.2 皮亚诺自然数公理
1.3 自然数和计算机程序
1.4 自然数的结构
1.5 自然数的同构
1.6 形式与结构
第2章递归
2.1 万物皆数
2.2 欧几里得算法
2.2.1 欧几里得和《几何原本》
2.2.2 欧几里得算法
2.2.3 扩展欧几里得算法
2.2.4 欧几里得算法的意义
2.3 λ 演算
2.3.1 表达式化简
2.3.2 λ 抽象
2.3.3 λ 变换规则
2.4 递归的定义
2.5 λ 演算的意义
2.6 更多的递归结构
2.7 递归的形式与结构
2.8 扩展阅读
2.9 附录：倒水趣题完整程序
第3章对称
3.1 群
3.1.1 群的定义
3.1.2 幺半群与半群
3.1.3 群的性质
3.1.4 置换群
3.1.5 群与对称
3.1.6 循环群
3.1.7 子群
3.1.8 拉格朗日定理
3.2 环与域
3.2.1 环的定义
3.2.2 除环和域
3.3 伽罗瓦理论
3.3.1 扩域
3.3.2 自同构和伽罗瓦群
3.3.3 伽罗瓦基本定理
3.3.4 可解性
3.4 扩展阅读
第4章范畴
4.1 范畴
4.1.1 范畴的例子
4.1.2 箭头6= 函数
4.2 函子
4.2.1 函子的定义
4.2.2 函子的例子
4.3 积与和
4.3.1 积与和的定义
4.3.2 积与和的性质
4.3.3 积与和作为函子
4.4 自然变换
4.4.1 自然变换的例子
4.4.2 自然同构
4.5 数据类型
4.5.1 起始对象和终止对象
4.5.2 幂.
4.5.3 笛卡尔闭和对象算术
4.5.4 多项式函子
4.5.5 F-代数
4.6 小节
4.7 扩展阅读
4.8 附录：例子代码
第5章融合
5.1 叠加——构建的融合
5.1.1 列表的叠加操作
5.1.2 叠加——构建融合律
5.1.3 列表的构建形式
5.1.4 使用融合律化简
5.1.5 类型限制
5.1.6 用范畴论推导融合律
5.2 巧算100
5.2.1 穷举法
5.2.2 改进
5.3 小结和扩展阅读
5.4 附录代码
第6章无穷
6.1 无穷概念的提出
6.1.1 无穷的哲学
6.1.2 穷竭法与微积分
6.2 潜无穷与编程
6.3 实无穷的思考
6.3.1 无穷王国的花园
6.3.2 一一对应与无穷集合
6.3.3 可数无穷与不可数无穷
6.3.4 戴德金分割
6.3.5 超限数和连续统假设
6.4 无穷与艺术
6.5 附录：例子代码
6.6 附录：康托尔定理的证明
6.7 附录：巴赫《音乐的奉献》无限上升的卡农
第7章悖论
7.1 计算的边界
7.2 罗素悖论
7.3 数学基础的分歧
7.3.1 逻辑主义
7.3.2 直觉主义
7.3.3 形式主义
7.3.4 公理集合论
7.4 哥德尔不完全性定理
7.5 不完全性定理的证明
7.5.1 构建形式系统
7.5.2 哥德尔配数
7.5.3 构造自我指涉
7.6 万能的程序与对角线证明
7.7 尾声.
参考答案
