本教材是在参考了国内外同类教材的基础上，结合作者多年在大学各专业讲授概率论和数理统计课程积累的经验，为适应21世纪高等院校对综合型人才的培养而编写的.
　　作者充分考虑到该学科的特点及学生的学习特点和认知过程的规律，在内容的编排上，把学科知识的系统性和教学法的要求相结合，由浅入深、循序渐进地介绍了概率论和数理统计的基本知识、基本理论和基本方法.
　　本书配有丰富的例题，且例题的编写注重阐述解决问题的思路、解题的方法和步骤，使读者能够通过例题加深对概率论与数理统计基本理论和方法的理解，帮助读者学会用概率统计方法解题并获得一些建立概率统计模型及解决实际问题的能力.
　　每章后配有一定量的难易程度不同的习题，习题涉及的范围较广，可以适合不同专业和不同程度读者的需求.
　　本书不仅适合计算科学专业的学生学习，对部分章节和内容进行删节后也可作为其他理工科专业或管理、经济类专业的概率论与数理统计教材或参考书.

无

前言
　　概率论与数理统计是一门研究随机现象统计规律的数学学科，是数学与应用数学、信息与计算科学、统计学专业的主要基础课，同时也是大部分理工科、经济、金融、管理和其他社会科学等专业的必修课．
　　本教材是在国内外同类教材的基础上，结合我们多年对大学不同专业讲授概率论与数理统计课程积累的经验，为适应21世纪高等院校对综合型人才的培养而编写的，可作为高等学校理科(非数学专业)、工科及经济管理等专业的教材．
　　该课程是学生在大学里首次接触到以随机现象为研究对象的数学课程，其研究对象、研究方法、思维方式等都有别于其他数学课程．因此，本书力图做到题材的组织和递进的难度符合学生的认知规律，强调知识的传授与启发式教学相结合．通过实际问题引入基本概念和建立基本定理，以激发学生的学习兴趣，增强学生对概率论与数理统计基本思想、基本方法的理解，进而使学生在掌握本课程的理论知识的同时，逐步理清该课程与其他数学课程的关系并初步掌握本课程的应用方法．
　　概率论与数理统计是一门重要的基础课，初学者在学习中会遇到一些困难．因此，我们在例题的编写中尽量阐述清楚解题的思路、方法和步骤，以精选的习题来巩固学生的课堂知识．在习题的选择上，一方面注意了由浅到深，安排一定量的有助于加深理解基本概念、训练基本方法的习题；另一方面安排了一些涉及通信、信息、经济、文化、医学等方面的习题，使学生在学到概率论与数理统计的基本理论和方法的同时，也获得一些解决实际问题的能力．
　　全书分为两大部分：第一部分为概率论基础，包括前5章内容；第二部分为数理统计，包括后3章内容．在概率论部分我们将一维随机变量和多维随机变量分为两章来讲授，每章均含连续型随机变量和离散型随机变量的相关内容，便于学生将连续型随机变量和离散型随机变量对比学习．在数理统计部分着重介绍了统计的基本概念及估计和检验的基本思想和方法，而略去了一般的概率论与数理统计教材所包含的回归分析和方差分析的内容．实际上根据现有情况，多数学校的非概率统计专业都将概率论与数理统计作为一门课程在一学期开设，也没有课时讲授这两部分的内容．有关内容可在应用数理统计中讲授．
　　本书基本上只用到微积分和线性代数的知识，凡具备这两门高等数学知识的读者都可以使用本书作为学习概率论与数理统计课程的教材．根据我们几次试用成书前的讲稿，本书基本内容可在72课时内(不包括习题课)全部授完．对于一般的工科和管理类专业，带*号的章节略去不讲，也可在54课时内授完．
　　在此，我们首先要感谢中央民族大学数学与计算机科学学院的领导和全体教师对我们编写本教材的关心和支持；特别要感谢魏凤荣教授在百忙之中抽出时间审阅了书稿，提出了宝贵意见，感谢民族大学历届学生，他们在学习中提出了大量的问题并对部分习题答案作了验证．
　　本书前3章由徐赐文编写，第4、5章由郑更新编写，后3章由陈方樱编写，全书由陈方樱统稿．由于我们的水平所限，虽经多次修改，书中一定还存在许多错误和不足，恳请广大师生批评指正．

陈方樱，徐赐文，郑更新
2005年7月



引言
　　一、概率论与数理统计研究的对象
　　概率论与数理统计是研究随机现象统计规律的一门数学分支．
　　什么是随机现象呢？让我们先看几个例子：
　　(1) 两个带同性电的小球相靠近，则相互排斥；
　　(2) 纯水在一个标准大气压下，加热到100°C沸腾；
　　(3) 抛掷一枚质地均匀的硬币，可能正面向上，也可能反面向上；
　　(4) 某天股市上某种股票的价格．
　　例(1)、(2)中所述的现象，一般在一定的条件下其结果是完全确定的，这种现象称为确定性现象．
　　例(3)、(4)中所述的现象，一般即使在相同的条件下，事先也不能肯定它会出现哪一种结果，而且从一次试验或一次观察也看不出有什么规律，这种现象称为随机现象．和确定性现象一样，随机现象也是自然界、人类社会中的一种重要现象，这种现象无时无刻不影响着我们．因此，认识和研究随机现象的变化规律对于人们进行科学决策，更好地安排经济和生产活动有着重要的意义．例如，若知道每天顾客人数的变化规律，商店就可以合理地安排售货员；同样，若知道股市上股票价格的变化规律或变化趋势，投资者就可以选择最佳投资方案．
　　如何研究随机现象呢？一开始，人们将这些具有“偶然性”的随机现象看作是“不正常的”、“出乎意料的”或者是“无规律的”，甚至认为是上帝的安排．那么是不是随机现象真的是无规律可寻呢？事实上，并非如此．人们经过长期大量的实践发现，在相同的条件下，进行大量反复的实验和观察，随机现象都会呈现出某种规律性，所谓无规律只是对一次或少数几次实验和观察而言．例如，抛掷一枚质地均匀的硬币，虽然我们事先无法预知其结果，但是，如果抛掷多次，很快就会发现出现正面的次数与出现反面的次数之比近乎为1∶1，且抛掷次数越多这个近似越精确．同样，我们无法预知新生儿中男婴的确切数量，但经过长期的观察发现，新生儿中男婴与女婴的数量之比也近乎为1∶1．拉普拉斯(Laplace,PSM)根据伦敦、彼得堡、柏林和全法国(18世纪)的统计资料得出几乎完全一致的男婴出生数与全体婴儿出生数的比值，所有这些比值在10年间总在22/43=5116%附近摆动，但用巴黎40年间(1745—1784)的资料却得到上述值为25/49=5102%，拉普拉斯感到奇怪．后来经过仔细调查研究，发现巴黎附近某地区有弃女婴的习俗，造成了收容单位或个人重复申报户口，从而使女婴比例增大，以至歪曲了男婴出生率的真相．经拉普拉斯修正后这个比值也稳定于22/43=5116%．由此可见，自然界中存在着大量的具有下列特点的随机现象：在一定的条件下，它有多种可能的结果，事先人们无法预知将出现哪种结果，但经过大量重复试验或观察后，所得到的结果呈现出某种确切的规律，这种规律称为随机现象的统计规律．
　　正如恩格斯所说“在表面上是偶然性在起作用的地方，这种偶然性始终是受内部隐蔽着的规律支配的，而问题只是在于发现这些规律．”
　　概率论与数理统计就是研究随机现象统计规律的一门学科．

二、概率论的起源和发展
　　概率论与数理统计的发展历史悠久．14世纪，随着商业、贸易日益发展，航海事业日新月异，出现了海上保险事业．到16世纪时人寿保险及水灾、火灾等的保险事业也相继出现．它们都向数学提出了新的要求，需要应用数学来分析和研究这些现象中蕴藏的规律，估计各种事件发生的可能性的大小，这就促进了数学家对概率论与数理统计的研究．因此可以说概率论与数理统计的兴起是由保险事业的发展而产生的，但最初刺激数学家思考概率论与数理统计问题的却来自掷骰子的游戏．17世纪中叶，法国有一位热衷于掷骰子游戏的贵族德·梅尔(De Mere)，他在掷骰子游戏中遇到了一些令他苦恼的问题．例如，他认为掷一枚骰子4次至少出现一次6点和掷一对骰子24次至少出现一次双6的概率是相同的，但经验表明第一个事件较第二个事件出现的可能性大一些．他找不到解释的原因，于是他把遇到的问题向法国数学家帕斯卡(Blaise Pascal)请教，帕斯卡又把它提交给另一位数学家费马(P．Fermat)，他们频繁通信，开始了概率论和组合论的研究．这件事被荷兰的科学家惠更斯获悉，他独立地研究了这些问题，写出了《论掷骰子游戏中的计算》，时间是1657年．这是迄今为止被认为概率论的最早著作．
　　18世纪初，简·伯努利(Bernoulli，J)发现了大数定律，这是概率论中的一个重要结论．从18世纪初到19世纪，母函数、特征函数的引入，成功地解决了许多问题，特别是对中心极限定理的研究，在这方面棣莫弗(De Moiver)、拉普拉斯(Laplace，PSM)、李亚普诺夫(Лияпунов)等都有出色的工作．这个时期也称作分析概率时期．
　　从19世纪到20世纪中叶，概率论研究的主要工作包括两方面：一方面是极限理论的发展、 随机过程理论的建立；另一方面是系统地研究了概率的基本概念，有许多人在这方面作过努力，高斯(Gauss)奠定了最小二乘法和误差理论的基础．泊松(Poisson)推广了大数定律，引入了十分重要的“泊松分布”，马尔可夫(Марков，AA)导入了有名的马尔可夫链，特别是柯尔莫哥洛夫(Колмогоров，AH)1933年在苏联科学院院报上发表了“概率的公理化结构”的论文，为概率论的理论奠定了严格的逻辑基础．同时，概率论与数理统计在这一时期完成了分家．
　　从1940年开始，概率论有了自己的研究方向，重点研究随时间变化随机变量族(即随机过程)的轨道性质．在这期间，一方面逐渐出现了理论概率论与应用概率论分家的趋势，另一方面也出现了蒙特卡罗(Monte Carlo)方法，其思想在18世纪法国学者蒲丰用投针游戏估计π值时就已形成，但真正命名却在1946年．当时美国两位学者冯·诺依曼(Von Neumann，J L)和乌拉姆首先用数学程序在计算机上模拟中子裂变连锁反应的结果，并用概率统计的方法研究反应后的结果，他们把第一个这样的程序命名为“蒙特卡罗程序”，自此兴起了蒙特卡罗方法，它是一种建立在概率统计基础上的计算方法，在电子学、生物学、高分子化学等学科的研究中有着重要的应用．
　　现在，概率论与数理统计已成为最重要和最活跃的数学学科之一，它大量应用于国民经济、工农业生产、近代物理、气象、地震、生物、医学、金融、保险等领域．许多新兴的学科如信息论、对策论、排队论、控制论等几乎都是以概率论为基础的，概率论与数理统计的发展正是方兴未艾．

随机数学越来越得到各学科、各行业的重视和广泛的应用，而概率论与数理统计是随机数学的基础因此，要学好随机数学就必须学好概率论与数理统计这门课　对于学习者来说，一本适当的教材或学习用书会起到事半功倍的作用市面上关于概率论与数理统计的书已有很多，也不乏精品之作，但真正适合于信息与计算科学专业的书不多，陈方樱等编写的这本书就弥补了这一缺憾
　　概率论与数理统计是学生在大学里首次接触到的以随机现象为研究对象的数学课程，其研究对象、研究方法、思维方式等都有别于其他数学课程，学生在初次学习时会有许多困惑本书是基于编者多年开设这门课的讲义而编写的因此，在内容的编排上，特别注意了把本学科知识的系统性和教学法的要求相结合，充分考虑到学生的学习特点和认知过程的规律，使科学知识的表达能以较恰当的方式利用较少的课时为学生所接受例如在概率论部分将一维随机变量和多维随机变量分为两部分来讲授，而不是分成离散型随机变量和连续型随机变量两部分来讲授，主要是考虑到便于学生将离散型随机变量和连续型随机变量许多相关的基本概念进行类比的推导和学习；又例如分布函数放在离散型随机变量概念之后引入，这样符合先易后难、从直观到抽象的思维过程，有利于学生对分布函数这一抽象概念的理解和接受
　　本书通俗易懂它采用深入浅出、循序渐进的方法较系统地介绍了概率论与数理统计的基本理论和基本方法在概念、定理及公式的引入中作者注意结合实例阐明它们产生的背景和实际意义，并通过例题加以说明，避免学生一开始就被枯燥和繁琐的定义、定理和公式所困扰，利于学生了解学习这门课的实际意义，激发学生的学习兴趣
　　充分考虑到不同层次学生的需求，本书配备了较多的例题和习题在例题的编写上作了精心的设计首先注意了对问题的分析，通过细致的分析，阐述了将实际问题转化为概率模型的思路；其次对解题的方法和步骤也作了较详细的介绍、归纳和整理，有些题后还加注了说明这样一方面有利于学生对基本概念的理解和基本方法的掌握，解决学生觉得概率统计这门课听起来有兴趣、基本概念难懂、方法难于掌握、习题难做的问题；另一方面还能使学生初步了解到如何用随机方法去解决实际问题，从而培养学生建立概率统计模型及解决实际问题的意识和能力
　　综观全书，它在内容结构的安排上既符合一门数学课程的体系，有一定严密的数学系统性，同时又不是完全用纯粹的数学的语言来编写，使这本书更适合于信息与计算科学专业的学生学习对部分章节和内容进行删节后也可作为其他理工科专业或管理、经济类专业的概率论与数理统计教材和学习用书


刘秀芳
2006年3月

第1章随机事件及其概率
11随机事件和样本空间
12事件间的关系及运算
13概率的直观意义及计算
14概率的公理化定义
15条件概率、全概率公式及贝叶斯公式
16事件的独立性及伯努利概型
习题一
第2章随机变量及其分布
21随机变量
22离散型随机变量
23随机变量的分布函数
24连续型随机变量及其分布密度
25随机变量函数的分布
习题二
第3章二维随机变量及其分布
31二维随机变量及其分布函数
32边缘分布
*33条件分布
34随机变量的相互独立性
35多维随机变量函数的分布
习题三
第4章随机变量的数字特征
41数学期望
42方差
43协方差与相关系数
44矩与协方差阵
*45条件数学期望
*46特征函数
习题四
第5章极限定理
51大数定律
52中心极限定理
习题五
第6章数理统计的基本概念
61总体、样本与经验分布函数
62几个重要的分布
63抽样分布定理
习题六
第7章参数估计
71参数的点估计
72估计量的评价标准
73参数的区间估计
习题七
第8章假设检验
81假设检验的基本思想与概念
82正态总体参数的假设检验
*83非参数假设检验
习题八
习题答案
附表
表1泊松分布表
表2标准正态分布函数表
表3χ2分布分位数表
表4t分布分位数表
表5F分布分位数表
表6柯尔莫哥洛夫检验临界值Dn,α表
表7柯尔莫哥洛夫检验统计量Dn的极限分布表
表8计算统计量W必需的系数ak(W)表
表9W检验统计量W的α分位数Wα表
参考文献