本书是整合计算机专业以及相关专业必备数学基础知识而编写的教材。全书共12章；内容包括集合论、连续性概念、一元微积分、级数、线性代数、概率论与数理统计、图论和数理逻辑等基础数学分支。教材编写贯彻少而精、重基础、重实践、重实用的原则。其特点主要体现是，内容分布均匀、重点突出、选材重在基础和必备，按数学自身规律有机组织知识内容、教材体系完整统一。
本教材针对应用型计算机专业以及相关专业学生编写；适合应用型普通高校和高职高专院校计算机专业学生的教学使用；也可以用作IT行业从业人员为提高数学基础知识的读本或专业培训教材。

计算机数学是为计算机基础教学而整合相关数学知识所设计的一门新兴课程。本教材针对应用型本科高校和高职高专院校计算机应用技术专业及相关专业编写，考虑到教学课时和专业层次的需求，一般仅选择基础性的主要内容，主要由集合论、连续性概念、一元微积分、级数、线性代数、概率论与数理统计、图论、数理逻辑等组成。
本书特点
教材内容分布均匀、重点突出。本教材内容涉及高等数学、离散数学、线性代数及概率统计等多个方面，内容分布均匀，重点突出，同时坚持少而精的原则。
按数学自身规律组织内容，使原有多门课程涉及的内容有机统一为一个整体，从而形成适应计算机学科的必要的基本数学知识体系。
课程目标明确。本教材是一门基础性数学课程，其主要目标是使学生掌握数学的基本概念，培养学生抽象思维能力及逻辑推理能力，同时为后续课程提供支持。
侧重实践。本教材尽量减少纯理论的阐述和证明，强调数学的应用与实践，有丰富的例题。

一般而言，计算机科学与技术涉及众多数学分支；但对于应用型本科高校和高职高专院校的计算机基础教学而言，涉及的数学分支广度与深度却比较有限. 计算机数学的提出正是为着计算机基础教学而整合相关数学知识设计的一门新兴课程. 为了适应不同类型高校以及不同学历层次的计算机数学教学的需求，我们确定了计算机数学内容的最大包含和最小包含. 不同类型的学校和特定学历层次的教学可以进行合适的裁剪与整合. 本教材是针对应用型本科高校和高职高专院校计算机应用技术专业以及相关专业编写的，内容略高于最小包含，主要由集合论、连续性概念、一元微积分、级数、线性代数部分、概率论与数理统计、图论、数理逻辑等组成. 考虑到教学课时和专业层次的需求，一般仅选择具基础性的主要内容，学时以 128 学时为宜. 该教材主要有如下特点：
　　（1）教材内容分布均匀、重点突出. 教材内容涉及高等数学、离散数学、线性代数及概率统计等多个方面，内容分布均匀，重点突出，同时坚持少而精的原则，选用那些最具基础性、代表性的内容.
　　（2）按数学自身规律组织内容. 数学是一个完整、统一的整体，为研究与教学方便才将它们分割成若干门课程讲授，在计算机数学中又将其恢复合并成一个整体，因此必须按其自身规律组织内容，使原有多门课程的“混合物”成为有机、统一的“化合物”，从而形成适应学习计算机学科必要的基本数学知识体系.
　　（3）课程目标明确. 本教材是一门基础性数学课程，其主要目标是使学生掌握数学的基本概念，培养学生抽象思维能力及逻辑推理能力，同时为后续课程提供支持.
　　（4）侧重实践. 学以致用，举一反三，是教学和学习的最终目的. 本教材尽量减少纯理论的阐述和证明，强调数学的应用与实践，有丰富的例题，便于学生模仿和扩展. 本教材并不直接与计算机相关内容结合，这不是本课程的目标内容，课程的应用性主要体现在通过相关能力培养后对应用的间接作用.
　　本教材共 12 章，分五个部分. 第1章绪论，介绍计算机数学的全貌，为了解本教材提供宏观性的指导；第2 章集合论，建立整个数学的基础，也是本教材体系的基础；第 3～7 章是高等数学部分，介绍极限与连续性、一元微积分及无穷级数等内容，构成连续数学的基本内容；第 8～10 章是线性代数与概率统计部分，介绍行列式、矩阵、线性方程组及概率统计等内容，也是相关学科的最基本内容；第 11～12 章是离散数学部分，介绍图论与数理逻辑的基本内容.
　　本教材由5人合作编写. 第 1 章由史九林和徐洁磐合作编写，第 3～7 章由林成森和周建兰合作编写，第8～10 章由徐进鸿编写，第 2、11 、12 章由徐洁磐编写. 最后由史九林负责统稿全书。
　　本教材由天津大学柏家球教授审稿，并提出了许多宝贵意见，在此表示衷心感谢. 在教材编写过程中还得到了南京航空航天大学林钧海教授和山东大学董继润教授的指导与帮助，在此一并表示衷心感谢.
　　计算机数学课程是一门新的课程，本教材在写作上是一次尝试，由于作者们经验不足、水平有限，文中谬误在所难免，敬请使用本教材的老师与读者提出宝贵意见，以便进一步修改完善，以利计算机数学课程的进一步建设.

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　编者
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2009年11月于南京

数学

计算机数学是为计算机基础教学而整合相关数学知识所设计的一门新兴课程。本教材针对应用型本科高校和高职高专院校计算机应用技术专业及相关专业编写，考虑到教学课时和专业层次的需求，一般仅选择具基础性的主要内容，主要由集合论、连续性概念、一元微积分、级数、线性代数部分、概率论与数理统计、图论、数理逻辑等组成。
教材特点：
● 教材内容分布均匀、重点突出。本教材内容涉及高等数学、离散数学、线性代数及概率统计等多个方面，内容分布均匀，重点突出，同时坚持少而精的原则。
● 按数学自身规律组织内容，使原有多门课程涉及的内容有机统一为一个整体，从而形成适应计算机学科的必要的基本数学知识体系。
● 课程目标明确。本教材是一门基础性数学课程，其主要目标是使学生掌握数学的基本概念，培养学生抽象思维能力及逻辑推理能力，同时为后续课程提供支持。
● 侧重实践。本教材尽量减少纯理论的阐述和证明，强调数学的应用与实践，有丰富的例题。

前　 言
第1章　绪论 1
1.1　关于数学 1
1.1.1　什么是数学 1
1.1.2　数学的显著特征 2
1.1.3　数学的基础性 2
1.1.4　数学的应用性 2
1.2　关于计算机数学 2
1.2.1　计算机数学 3
1.2.2　计算机数学的构建 4
1.2.3　计算机数学的内容规范和组织 4
1.3　关于计算机数学的教学和学习 5
1.3.1　计算机数学的教学 5
1.3.2　计算机数学的学习 5
1.3.3　关于本教材 6
第2章　集合论 7
2.1　集合基础 7
2.1.1　集合的基本概念 7
2.1.2　集合的表示方法 8
2.1.3　集合概念间的关系 9
2.1.4　集合概念的基本性质 10
2.1.5　集合运算 11
2.1.6　集合的扩充运算—笛卡儿乘 13
2.2　关系 15
2.2.1　关系的基本概念 15
2.2.2　关系的表示 16
2.2.3　关系运算 17
2.2.4　n元关系 19
2.3　函数与无限集 19
2.3.1　函数的基本概念 19
2.3.2　函数的表示 20
2.3.3　函数的分类 21
2.3.4　函数运算 22
2.3.5　几种常用函数 24
2.3.6　多元函数 24
2.3.7　有限集与无限集 25
2.4　本章小结 26
习题 27
第3章　函数极限与连续 29
3.1　初等函数 29
3.1.1　基本初等函数 30
3.1.2　初等函数 31
3.1.3　分段函数 34
3.2　函数的极限 35
3.2.1　函数的极限概念 36
3.2.2　数列的极限 41
3.2.3　极限的性质 42
3.2.4　极限的运算 43
3.2.5　极限的夹逼定理 46
3.2.6　两个重要极限 47
3.3　无穷小量与无穷大量 50
3.3.1　无穷小量与无穷大量 50
3.3.2　无穷小量的比较 54
3.4　函数的连续性，连续函数的性质 56
3.4.1　函数的连续性 56
3.4.2　函数的间断点及其分类 58
3.4.3　初等函数的连续性 59
3.4.4　闭区间上连续函数的性质 60
3.5　本章小结 61
习题 62
第4章　导数及其应用 71
4.1　导数概念 71
4.1.1　导数的定义 71
4.1.2　可导与连续的关系 74
4.1.3　导数的几何意义 75
4.1.4　反函数的导数 77
4.2　函数的求导法则 77
4.2.1　基本初等函数的导数 78
4.2.2　导数的四则运算法则 79
4.2.3　复合函数的求导法则 82
4.2.4　隐函数的导数 86
4.2.5　对数求导法 88
4.3　高阶导数 89
4.4　函数的微分 92
4.4.1　微分的概念 92
4.4.2　函数的可微条件 93
4.4.3　微分的几何意义 94
4.5　中值定理 95
4.5.1　罗尔定理 95
4.5.2　拉格朗日中值定理 96
4.5.3　柯西中值定理 99
4.6　求极限的洛必达法则 99
4.6.1　0/0型和∞/∞型未定式 99
4.6.2　其他类型的未定式 103
4.7　函数的单调性和极值 104
4.7.1　函数的单调性 104
4.7.2　函数的极值 108
4.7.3　函数的最大值和最小值 111
4.8　函数曲线的凹向与拐点 113
4.9　求函数方程的根的数值方法 115
4.10　本章小结 117
习题 119
第5章　不定积分 132
5.1　不定积分的概念及性质 132
5.1.1　原函数和不定积分的概念 132
5.1.2　积分与微分（导数）的互逆运算性质 134
5.1.3　基本积分公式 135
5.1.4　不定积分的几何意义 135
5.2　不定积分的基本运算法则 136
5.3　不定积分的换元法 138
5.3.1　第一换元法（凑微分法） 138
5.3.2　第二换元法 146
5.4　分部积分法 150
5.5　本章小结 154
习题 156
第6章　定积分 161
6.1　定积分的概念与性质 161
6.1.1　定积分的定义 161
6.1.2　定积分的性质 165
6.2　微积分学基本定理 166
6.3　定积分的计算方法 169
6.3.1　牛顿-莱布尼茨公式 169
6.3.2　定积分的换元法 173
6.3.3　分部积分法 177
6.4　 计算定积分的数值方法 180
6.4.1　梯形公式 181
6.4.2　辛普森公式 181
6.4.3　复合求积公式 183
6.5　广义积分 186
6.6　定积分的应用 189
6.6.1　定积分的微元法 190
6.6.2　平面图形的面积 190
6.7　本章小结 195
习题 196
第7章　级数 203
7.1　常数项级数 203
7.1.1　常数项级数的基本概念 203
7.1.2　收敛级数的性质 205
7.2　 常数项级数的收敛判别法 206
7.2.1　正项级数及其敛散性判别法 206
7.2.2　任意项级数 209
7.3　幂级数 211
7.4　本章小结 216
习题 217
第8章　行列式与矩阵 220
8.1　行列式 220
8.1.1　行列式的定义 220
8.1.2　行列式的性质 226
8.1.3　行列式的计算 227
8.2　矩阵 230
8.2.1　矩阵的概念 230
8.2.2　矩阵运算 231
8.2.3　几种特殊的矩阵 235
8.3　矩阵的初等变换与矩阵的秩 236
8.3.1　矩阵的初等变换 236
8.3.2　矩阵的秩 237
8.4　矩阵的逆 238
8.4.1　可逆矩阵 239
8.4.2　用初等变换求逆矩阵 240
8.5　本章小结 241
习题 242
第9章　线性方程组 244
9.1　线性方程组的定义 244
9.2　线性方程组的消元解法 245
9.2.1　一般消元法 245
9.2.2　主元素消元法 248
9.3　线性方程组解的判定与结构 249
9.3.1　线性方程组解的判定 249
9.3.2　线性方程组解的结构 252
9.4　求线性方程组解的迭代法 259
9.4.1　向量和矩阵的范数 259
9.4.2　迭代法及其收敛性 261
9.4.3　雅可比迭代法 263
9.4.4　高斯-塞德尔迭代法 264
9.5　本章小结 266
习题 267
第10章　概率与数理统计基础知识 270
10.1　基础概率 270
10.1.1　随机事件及其概率 271
10.1.2　古典概型 273
10.1.3　全概公式与逆概公式 277
10.2　随机变量的分布与数字特征 279
10.2.1　随机变量的分布 279
10.2.2　随机变量的数字特征 286
10.3　数理统计基础知识 292
10.3.1　总体、样本、统计量 292
10.3.2　常用统计量分布 293
10.3.3　样本数据的统计分析初步 295
10.4　本章小结 296
习题 298
第11章　图论 301
11.1　图论原理 301
11.1. 1　图的基本概念 301
11.1.2　通路、回路与连通图 305
11.1.3　欧拉图 308
11.1.4　哈密尔顿图 310
11.1.5　图的矩阵表示法 311
11.2　树 317
11.2.1　树的基本性质 317
11.2.2　有向树 318
11.2.3　二元树 320
11.2.4　生成树 321
11.3　本章小结 323
习题 324
第12章　数理逻辑 326
12.1　命题逻辑 326
12.1.1　命题 326
12.1.2　命题联结词 327
12.1.3　命题公式 331
12.1.4　命题公式的真值表与重言式 332
12.1.5　命题逻辑的基本等式与基本蕴含重言式 334
12.1.6　命题逻辑的推理 336
12.2　谓词逻辑 339
12.2.1　谓词逻辑的三个基本概念—个体、谓词与量词 340
12.2.2　谓词公式 343
12.2.3　谓词逻辑的永真公式 345
12.2.4　谓词逻辑的推理 347
12.3　本章小结 349
习题 350
参考文献 352