本书全面介绍高维概率的理论、关键工具和现代应用，涵盖Hoeffding不等式和Chernoff不等式等经典结果以及Matrix Bernstein不等式等现代发展，还介绍了基于随机过程的强大方法，包括Slepian、Sudakov和Dudley不等式等工具，以及基于VC维数的通用链和界。全书使用了大量插图，包括协方差估计、聚类、网络、半定规划、编码、降维、矩阵补全、机器学习、压缩感知以及稀疏回归的经典和现代结果。

无

读者对象
这是一本着眼于数据科学应用的高维概率论教材，它面向数学、统计学、电气工程、计算生物学及相关领域的博士生和高年级硕士生以及初级研究人员，为扩展他们在现代数据科学研究中使用的理论方法而写.
关于本书
数据科学正在快速发展，概率方法经常为其提供基础和灵感. 如今，一门经典的研究生概率论课程已经不足以达到数据科学研究人员所期望的数学复杂程度. 本书旨在部分地填补这一空白. 它提出了一些关键的概率方法和结果，这些方法和结果为数学数据科学家提供了必要的理论工具. 它可以作为概率论第二门课程的教材，以使学生对数据科学的应用有所了解. 本书也适合自学.
本书内容
高维概率是概率论中一个研究Rn中的随机对象的分支，其中维数n可能非常大. 本书重点介绍随机向量、随机矩阵和随机投影. 它讲授分析这些对象的基本理论技能，包括集中不等式、覆盖与填充理论、解耦和对称化技巧、随机过程的链和比较技术、基于VC维数的组合推理等.
高维概率的研究为数据科学应用提供了重要的理论工具. 本书将理论与协方差估计、半正定规划、网络、统计学习要素、纠错码、聚类、矩阵补全、降维、稀疏信号恢复和稀疏回归等应用结合起来.
预备知识
阅读本书的基本前提是具备扎实的概率论基础（硕士或博士水平），对本科阶段的线性代数有很好的掌握，对度量空间、赋范空间和希尔伯特空间以及线性算子的基本概念有全面的了解. 对测度论是否了解并不重要，但会有所帮助.
关于练习
练习穿插在正文中. 对文中所提的问题，读者可以立即进行验证，以检验对该问题的理解，并为接下来的应用做更好的准备. 练习的难度用咖啡杯的数量来表示，排列顺序由易（）到难（）. 带指向的手（）意味着该练习在本书末尾有提示.
相关阅读
本书只涵盖了高维概率理论内容的一小部分，并且其应用仅限于数据科学中的一些例子. 本书的每章结尾都有一个后注，给出与本章内容相关的其他文献，也给出了一些特别有用的信息. 现代经典的文献\[8\]全面介绍了概率方法在离散数学和计算机科学中的应用. 文献\[19\]呈现了数学数据科学的全景图，其重点在计算机科学中的应用上. 研究生和高年级本科生都可以阅读这两本书. 文献\[206\]是面向研究生的，更多地介绍了高维概率的理论.
致谢
许多同事的反馈对准备本书很有帮助. 特别感谢Florent Benaych-Georges、Jennifer Bryson、Lukas Grtz、Rémi Gribonval、Ping Hsu、Mike Izbicki、George Linderman Cong Ma、Galyna Livshyts、Jelani Nelson、Ekkehard Schnoor、Martin Spingler、Dominik Stger、Tim Sullivan、Terence Tao、Joel Tropp、Katarzyna Wyczesany、Yifei Shen和 Haoshu Xu提出的许多有价值的建议和更正，特别是Sjoerd Dirksen、Larry Goldstein、Wu Han、Han Wu和Mahdi Soltanolkotabi对本书的详细校对. 很感谢Can Le、Jennifer Bryson和我的儿子Ivan Vershynin在许多图片上的帮助.

数学

这是一本优秀的、非常及时的教材，书中以一种容易接受和面向实际应用的方式展示了高维几何和概率这一现代工具，且包含大量的练习。这本书融入了作者的洞察力和直觉，并广泛参考了该领域的新发展。对新手和专业研究人员来说，本书都非常有用。
—— 陶哲轩，加州大学洛杉矶分校
只要具备概率论和线性代数第一门课程的知识就可阅读本书。韦尔希宁指导读者贯穿主题并始终如一地通过现代数据科学应用来说明书中理论的实用性。这本书应该是概率论、数据科学及相关领域的学生和研究人员必备之书。
—— Ramon van Handel，普林斯顿大学
这本书因对与当代统计科学和机器学习特别相关的几个主题的简洁介绍而广受欢迎。 作者在呈现深刻的理论与保持非专业读者的可读性之间做到了很好的平衡。
—— Richard Nickl，剑桥大学
韦尔希宁是高维概率领域的世界领先专家之一，他的这本书为该领域的许多关键工具及其在数据科学领域中的应用进行了优美且全面的介绍。本书涉及的主题对于任何想在这个领域做数学研究，包括从事机器学习、算法和理论计算机科学、信号处理和应用数学工作的人来说都是必需的。
—— Jelani Nelson，哈佛大学
本书无论是对新人还是熟悉该领域的人都提供了优质的资源。 我相信，正如作者所希望的，本书所涵盖的内容确实是数据科学发展中必不可少的。
—— Santosh Vempala，佐治亚理工学院
在本书中，罗曼·韦尔希宁对该领域的重要概念、工具和技术进行了循序渐进、清晰的阐述。高年级学生及对数据科学的数学基础感兴趣的实际工作者将在本书中看到许多相关的工作实例和有趣的练习。
—— Rémi Gribonval，法国国家信息与自动化研究所研究室主任/高级研究员
罗曼·韦尔希宁是高维概率研究中的领军人物，且是一位语言表达大师，在本书中，他提供了一些基本的工具和高维概率的主要结果及应用。
—— Elchanan Mosse，麻省理工学院
高维概率的基本知识对应用数学、统计学和计算机科学交叉领域的研究人员来说是必不可少的。广泛的内容和循序渐进的介绍将使得这本书成为经典，基础数据科学领域的每个人都应该阅读它。
—— Alfred Hero，密歇根大学
韦尔希宁的这本书是对现代信号处理和数据科学所需的核心数学知识的精彩介绍。 重点是测度集中及其在随机矩阵、随机图、降维和随机过程的界等方面的应用。
—— Andrea Montanari，斯坦福大学

本书从一个有趣的实例——B.Maurey提出的求集合凸包的平均近似点的经验方法开始，使读者了解概率论可以优美地解决那些初看上去和概率无关的问题. 从本书中学习概率论如何打开其他（那些之前被发现是很难研究的）数学领域的大门是一段令人非常满意的经历.
在展示了必要的背景材料后，第3章直接进入了本书的核心部分：以一种具有启发性的方法处理高维集中问题. 例如，注3.1.2中公式n±O(n)=n±O(1)的表述很简洁. 同样在图3.6中，一个高斯点云在高维中表出：它集中在一个半径为
n的球面上. 这种形状与二维或三维中的钟形形状几乎没有任何共同之处——我们的低维直觉是无用的！作为概率论可以让生活更容易的另一个例子，本书给出了Grothendieck不等式的富有洞察力的证明. 要理解该不等式的任何其他形式（带有“好”的常数）的证明，我们可能需要几年时间.
再提及一个本书处理得很好的主题：等周不等式以及它如何导致放大. 如果球面的一个子集覆盖了至少50%的球面，那么它的覆盖范围指数地接近于100%. 本书还介绍了一些扩展到其他度量空间的内容，例如，格拉斯曼流形上的集中. 通过这种方式，为读者提供了这个领域的一个进入点，如果读者对这个领域感兴趣，可参考各章后注中提供的丰富材料.
本书读起来很有趣. 作者把材料当作激动人心的故事来讲述，使人欲罢不能. 许多分散在书中的练习鼓励读者参与故事情节的发展.
本书中讨论的其他主题包括随机矩阵、经验过程理论和稀疏恢复等，这些结果对数据科学的研究很重要，其本身也很漂亮. 许多学生和研究人员可能已经听出了话外音，这是一本他们苦苦寻求的书.

Sara van de Geer，ETH Zürich

[美] 罗曼·韦尔希宁（Roman Vershynin）著：Roman Vershynin是加州大学欧文分校的数学系教授，他研究数学和数据科学中的随机几何结构，特别是随机矩阵理论、几何泛函分析、凸和离散几何、几何组合学、高维统计、信息理论、机器学习、信号处理和数值分析. 他于2005年获得斯隆基金会的斯隆研究奖，2010年在海得拉巴举行的国际数学家大会上做受邀演讲，2013年获得洪堡基金会颁发的贝塞尔研究奖. 他的“随机矩阵非渐近分析导论”已经成为概率论和数据科学领域许多新研究者必不可少的教育资源。

冉启康 译：暂无简介

本书赞誉
序言
前言
第0章　预备知识：用概率覆盖一个几何集1
　0.1　后注3
第1章　随机变量的预备知识4
　1.1　随机变量的数字特征4
　1.2　一些经典不等式5
　1.3　极限理论7
　1.4　后注8
第2章　独立随机变量和的集中9
　2.1　集中不等式的由来9
　2.2　霍夫丁不等式11
　2.3　切尔诺夫不等式14
　2.4　应用：随机图的度数16
　2.5　次高斯分布17
　2.6　广义霍夫丁不等式和辛钦不等式22
　2.7　次指数分布24
　2.8　伯恩斯坦不等式28
　2.9　后注30
第3章　高维空间的随机向量32
　3.1　范数的集中32
　3.2　协方差矩阵与主成分分析法34
　3.3　高维分布举例38
　3.4　高维次高斯分布42
　3.5　应用：Grothendieck不等式与半正定规划46
　3.6　应用：图的最大分割50
　3.7　核技巧与Grothendieck不等式的改良52
　3.8　后注55
第4章　随机矩阵57
　4.1　矩阵基础知识57
　4.2　网、覆盖数和填充数61
　4.3　应用:纠错码64
　4.4　随机次高斯矩阵的上界67
　4.5　应用：网络中的社区发现70
　4.6　次高斯矩阵的双侧界74
　4.7　应用：协方差估计与聚类算法75
　4.8　后注78
第5章　没有独立性的集中80
　5.1　球面上利普希茨函数的集中80
　5.2　其他度量空间的集中85
　5.3　应用:Johnson-Lindenstrauss引理89
　5.4　矩阵伯恩斯坦不等式92
　5.5　应用：用稀疏网络进行社区发现98
　5.6　应用：一般分布的协方差估计99
　5.7　后注101
第6章　二次型、对称化和压缩103
　6.1　解耦103
　6.2　Hanson-Wright不等式106
　6.3　各向异性随机向量的集中109
　6.4　对称化110
　6.5　元素不是独立同分布的随机矩阵112
　6.6　应用：矩阵补全114
　6.7　压缩原理116
　6.8　后注118
第7章　随机过程119
　7.1　基本概念与例子119
　7.2　Slepian不等式122
　7.3　高斯矩阵的精确界127
　7.4　Sudakov最小值不等式129
　7.5　高斯宽度131
　7.6　稳定维数、稳定秩和高斯复杂度135
　7.7　集合的随机投影137
　7.8　后注140
第8章　链142
　8.1　Dudley不等式142
　8.2　应用：经验过程148
　8.3　VC维数152
　8.4　应用：统计学习理论161
　8.5　通用链166
　8.6　Talagrand优化测度和比较定理169
　8.7　Chevet不等式170
　8.8　后注172
第9章　随机矩阵的偏差与几何结论174
　9.1　矩阵偏差不等式174
　9.2　随机矩阵、随机投影及协方差估计179
　9.3　无限集上的Johnson-Lindenstrauss引理181
　9.4　随机截面:M界和逃逸定理183
　9.5　后注186
第10章　稀疏恢复187
　10.1　高维信号恢复问题187
　10.2　基于M界的信号恢复188
　10.3　稀疏信号的恢复189
　10.4　低秩矩阵的恢复192
　10.5　精确恢复和RIP194
　10.6　稀疏回归的Lasso算法199
　10.7　后注203
第11章　Dvoretzky-Milman定理204
　11.1　随机矩阵关于一般范数的偏差204
　11.2　Johnson-Lindenstrauss嵌入和更精确的Chevet不等式206
　11.3　Dvoretzky-Milman定理208
　11.4　后注211
练习提示212
参考文献217
索引226