本书主要讨论量子信息论中基础理论的精确数学表示和证明，可帮助读者全面理解这一领域的关键结论、证明技术和方法论，进而将其应用到不同的研究方向。书中首先给出线性代数、数学分析和概率论等必要的数学预备知识，在此基础上，对所有结论均给出了清晰和完整的证明。此外，书中还配备了一些有挑战性的练习，目的是帮助读者提升技能，逐步加深对量子信息论的理解。本书主要面向数学、计算机科学和理论物理方向的研究人员和高校研究生。
讨论量子信息的数学理论，全面涵盖该领域的关键结论、证明技术和方法论
本书是关于量子信息的数学理论教材，着重于定义、定理与证明的形式化表述．本书主要面向有一定量子信息与计算基础 (譬如本科与研究生入门级课程，或本领域内现有书籍所涉及的内容) 的研究生和科研人员．
近年来 (特别是近 20 年来)，量子信息科学得到了爆炸式的发展．因此，这整个领域，即使是仅涉及理论层面，也远不是一本书所能完整介绍的．基于这样的事实，本书并没有尝试用所选章节的内容去代表整个领域．量子信息科学理论的许多有趣且基础的分支方向，譬如量子误差校正与容错、量子算法与复杂度理论、量子密码学以及拓扑量子计算等，皆未纳入本书．然而，对于希望学习这些主题的读者而言，接触本书中的一些核心数学概念也十分有帮助．
进一步说，虽然对量子信息理论的研究确实是被量子力学与量子计算设备的应用前景所同时驱动的，但这些主题远超本书所涉及的范围．因此本书不会涉及薛定谔方程，并且直接忽视了建造量子信息处理设备的艰难的技术挑战．总的来说，本书并未考虑如何激发读者学习量子信息理论的动力．这里我们假设读者已对该领域的学习有一定的热情，可能还对独立证明量子信息中的新定理有兴趣．
有些读者可能会发现，本书与传统的量子信息和计算标准框架有差异，特别是在符号与术语方面．例如，本书并未采用通常使用的狄拉克符号，某些概念的名称和符号与其他教材也有区别．但是这些差异其实是非常表面的，如果读者过去对这些概念与传统量子信息框架有所涉猎，将本书中的符号、术语与其他书籍中的进行相互转换并非难事．
除第 1 章之外，本书每一章皆包含一个习题集．其中一些习题可能很简单，一些习题可能很困难．虽然这些习题可能对相关课程的教师有帮助，但是它们的真正目的还是帮助该方向的学生．没有什么比刻苦钻研困难的问题 (能解决自然更为理想) 更对学生的学习有帮助．有的时候，这些习题可能来自某些已发表的科研论文．在这些情况下，我们自然没有试图掩饰这一事实或隐藏其来源，毕竟那些文献可能清楚地揭示了其解决方法.
在这里我要感谢 Debbie Leung、Ashwin Nayak、Marco Piani 和 Patrick Hayden 就本书涉及的一些课题提供了很有帮助的讨论．在过去的数年中，本书从讲义开始，经历过数版草稿，最终发展成当前的版本．在此期间，许多人指出了书中的错误并且给出了有价值的建议，在这里也对他们表示感谢．由于列出所有值得感谢的人的名单会显得过于冗长，因而并未在此列出整个名单，但是特别感谢 Yuan Su 与 Maris Ozols 对本书的贡献，他们提供了广泛且详细的评论、更正与建议．另外也感谢 Sascha Agne 提供的关于德文翻译的帮助．
这里我还要感谢滑铁卢大学计算机科学学院与量子计算研究所为我提供撰写本书的机会与完成本书的环境．另外我也要对加拿大自然科学和工程研究理事会与加拿大高等研究院为我的研究项目提供的资金支持致以诚挚的谢意．
最后，我还要感谢 Christiane、Anne、Liam 和 Ethan，虽然这无关乎量子信息．
John Watrous
2018 年 1 月于滑铁卢
计算机\通信
过去二十年，经过量子物理学家、计算机科学家和数学家的思想碰撞，量子信息科学发展出极其迷人的生命力，反过来对其他传统学科产生了很大的冲击，引领世界进入第二次量子科技革命。
本书作者是量子信息科学的先驱之一。书中内容涵盖本学科的主要思想，是这个领域的入门宝典。通过这本书，读者将深刻掌握量子信息科学的要点。
—— 翁文康，华为量子计算软件与算法首席科学家
本书不仅是对量子信息论的优雅概述，而且清晰阐释了其推理背后的重要技术。书中涵盖表示论、半定规划、测度集中以及其他主流工具，呈现了该领域的关键元素。这些技能将帮助读者武装头脑，为前沿研究贡献智慧。
—— Patrick Hayden，斯坦福大学
本书是关于量子信息的数学理论书籍，主要讨论量子信息论中基础理论的精确数学表示和证明。它是为数学、计算机科学和理论物理方向的研究人员和高校研究生所设计的，可帮助他们全面理解这一领域的关键结论、证明技术和方法论，进而将其应用到不同的研究方向。
本书要求读者对基础数学知识有一定的理解，包括线性代数、概率论、泛函分析和测度论。书中首先给出必要的数学预备知识，在此基础上，对所有结论均给出了清晰和完整的证明。此外，书中还配备了一些有挑战性的练习，目的是帮助读者提升技能，逐步加深对量子信息论的理解。
作者简介
约翰·沃特罗斯（John Watrous） 滑铁卢大学计算机科学学院教授，量子计算研究所成员。他是加拿大高等研究院（CIFAR）研究员，以及圆周理论物理研究所成员。他的主要研究方向是量子信息与计算，目前的研究重点是量子信息理论及其在算法、复杂性理论和密码学中的应用。
[加]约翰·沃特罗斯（John Watrous） 著：约翰·沃特罗斯（John Watrous） 滑铁卢大学计算机科学学院教授，量子计算研究所成员。他是加拿大高等研究院（CIFAR）研究员，以及圆周理论物理研究所成员。他的主要研究方向是量子信息与计算，目前的研究重点是量子信息理论及其在算法、复杂性理论和密码学中的应用。
不同于传统的量子理论方法，在量子信息论中，所有的量子物理过程都被抽象为量子信息的处理过程. 由经典分析力学传承下来的哈密顿力学和拉格朗日力学被从量子理论中解耦. 这种解耦及抽象化在物理、数学以及信息论之间构造了一条漂亮的桥梁. 在这里，经典概率论被推广，信息论中常见的信道、熵等概念也与线性代数有机结合起来，而过程背后的物理原理被抽象成了一个个数学约束. 不同领域之间的交互，给了我们探索更深层次物理原理的更多可能. 另一方面，严格的数学抽象使得我们可以精确地讨论量子物理过程. 这让我们拥有了分析与发展量子信息技术的工具，也支撑起了量子计算、量子算法、量子通信、量子密码学等前沿领域的蓬勃发展.
本书主要讨论本领域中的常用数学工具，适合作为研究生教材以及科研参考书. 本书是John Watrous 教授对其教学讲义的整理汇编. 本书结构有序、自成体系，侧重于对基础概念的讲解. 鉴于本书涉及的数学知识相对广泛，建议读者拥有一定的线性代数、概率论等领域的基础知识，并对泛函分析、测度论等方面有一定的了解. 为了理解本书所介绍的数学工具背后的现实意义，在阅读本书的同时阅读一些其他量子信息或者量子计算领域的入门书籍将有所裨益. 本书着眼于可数维空间，特别是有限维空间中的量子信息，并不涉及连续变量量子信息. 在几十年的发展过程中，量子信息论已成为一个庞大的领域，本书自然无法一一介绍所有的数学工具. 但这里讨论的数学知识已经囊括了理解量子信息论许多前沿研究所需的理论基础. 理解本书对于学习其他相关数学工具也有着积极的作用. 作为新兴的交叉学科，无论是何背景的读者，对本书涉及的领域都难免感到陌生，加之本书讨论的内容相对抽象，初入量子信息论领域者也许会感到本书有些晦涩. 但是耐心细读，多与相关文献相互参考，必有收获.
本书的翻译工作历时一年有余，途中不免有些波折. 只因许多人提供的帮助与支持，本书的翻译工作才得以顺利完成，特此鸣谢！感谢翁文康教授在承接工作以及后续翻译过程中提供的帮助. 感谢本书作者 John Watrous 教授对翻译工作的支持，以及提供的本书源码. 感谢各位编辑的耐心与信任. 另外也要感谢郑盛根等师友在翻译与校对过程中提供的帮助.
译者水平有限，错漏之处在所难免，还望海涵.
译者
2020 年 7 月
出版者的话
译者序
前言
符号说明
第 1 章 数学基础 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 线性代数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1
1.1.1 复欧几里得空间 . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 线性算子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.3 算子的分解与范数. . . . . . . . . . .20
1.2 分析、凸性和概率论 . . . . . . . . . . . . 28
1.2.1 分析和凸性 . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.2.2 概率论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.2.3 半定规划 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.3 推荐参考资料. . . . . . . . . . . . . . . . . . .46
第 2 章 量子信息基本概念 . . . . . . . . . . . . . 47
2.1 寄存器与态 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.1.1 寄存器与经典态的集合 . . . . . . 47
2.1.2 寄存器的量子态. . . . . . . . . . . . .49
2.1.3 量子态的约化与纯化 . . . . . . . . 54
2.2 量子信道 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.2.1 信道的定义与基本概念 . . . . . . 58
2.2.2 信道的表示与特征. . . . . . . . . . .61
2.2.3 信道与其他映射的例子 . . . . . . 72
2.2.4 极点信道 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.3 测量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2.3.1 测量的两种定义. . . . . . . . . . . . .80
2.3.2 测量的基本概念. . . . . . . . . . . . .83
2.3.3 极点测量与系综. . . . . . . . . . . . .89
2.4 习题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
2.5 参考书目注释. . . . . . . . . . . . . . . . . . .96
第 3 章 态与信道间的相似性及距离 . . . . 98
3.1 量子态区分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.1.1 区分一对量子态. . . . . . . . . . . . .98
3.1.2 区分系综的量子态 . . . . . . . . . 104
3.2 保真度函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
3.2.1 保真度函数的基本性质 . . . . . 110
3.2.2 保真度函数的特征 . . . . . . . . . 113
3.2.3 保真度函数的其他性质 . . . . . 122
3.3 信道距离与区分 . . . . . . . . . . . . . . . 130
3.3.1 信道区分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
3.3.2 完全有界迹范数 . . . . . . . . . . . 132
3.3.3 信道间的距离. . . . . . . . . . . . . .139
3.3.4 完全有界迹范数的特征 . . . . . 147
3.4 习题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
3.5 参考书目注释. . . . . . . . . . . . . . . . . .158
第 4 章 保幺信道与优超. . . . . . . . . . . . . . .161
4.1 保幺信道的分类 . . . . . . . . . . . . . . . 161
4.1.1 混合酉信道. . . . . . . . . . . . . . . .161
4.1.2 Weyl 协变信道 . . . . . . . . . . . . 170
4.1.3 Schur 信道 . . . . . . . . . . . . . . . . 176
4.2 保幺信道的普遍性质 . . . . . . . . . . 179
4.2.1 保幺信道集合的极点 . . . . . . . 179
4.2.2 保幺信道的不动点、谱和模 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .184
4.3 优超 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
4.3.1 实向量的优超. . . . . . . . . . . . . .188
4.3.2 Hermite 算子的优超. . . . . . . .194
4.4 习题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
4.5 参考书目注释. . . . . . . . . . . . . . . . . .200
第 5 章 量子熵与信源编码 . . . . . . . . . . . . 202
5.1 经典熵 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
5.1.1 经典熵函数的定义 . . . . . . . . . 202
5.1.2 经典熵函数的性质 . . . . . . . . . 204
5.2 量子熵 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
5.2.1 量子熵函数的定义 . . . . . . . . . 214
5.2.2 量子熵函数的基本性质 . . . . . 215
5.2.3 量子相对熵的联合凸性 . . . . . 222
5.3 信源编码 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
5.3.1 经典信源编码. . . . . . . . . . . . . .229
5.3.2 量子信源编码. . . . . . . . . . . . . .232
5.3.3 在量子态上编码经典信息 . . . 236
5.4 习题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
5.5 参考书目注释. . . . . . . . . . . . . . . . . .247
第 6 章 二分纠缠 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
6.1 可分性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
6.1.1 可分算子与可分态 . . . . . . . . . 249
6.1.2 可分映射与 LOCC 范式 . . . . 261
6.1.3 可分测量与 LOCC 测量 . . . . 268
6.2 关于纠缠的操作 . . . . . . . . . . . . . . . 273
6.2.1 纠缠变换 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
6.2.2 可提取纠缠和纠缠费用 . . . . . 279
6.2.3 束缚纠缠和部分转置 . . . . . . . 284
6.3 与纠缠有关的现象 . . . . . . . . . . . . . 290
6.3.1 传态和密集编码 . . . . . . . . . . . 290
6.3.2 非经典关联. . . . . . . . . . . . . . . .300
6.4 习题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
6.5 参考书目注释. . . . . . . . . . . . . . . . . .313
第 7 章 置换不变性和酉不变测度 . . . . . 316
7.1 置换不变的向量和算子 . . . . . . . . 316
7.1.1 置换不变向量的子空间 . . . . . 316
7.1.2 置换不变算子的代数 . . . . . . . 324
7.2 酉不变概率测度 . . . . . . . . . . . . . . . 332
7.2.1 均匀球测度和 Haar 测度 . . . 332
7.2.2 酉不变测度的应用 . . . . . . . . . 342
7.3 测度集中及其应用 . . . . . . . . . . . . . 349
7.3.1 L.evy 引理和 Dvoretzky定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .349
7.3.2 测度集中的应用 . . . . . . . . . . . 364
7.4 习题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
7.5 参考书目注释. . . . . . . . . . . . . . . . . .376
第 8 章 量子信道容量 . . . . . . . . . . . . . . . . . 379
8.1 量子信道上的经典信息 . . . . . . . . 379
8.1.1 量子信道的经典容量 . . . . . . . 379
8.1.2 Holevo-Schumacher- Westmoreland 定理 . . . . . . . . 388
8.1.3 有纠缠协助的经典容量定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .402
8.2 量子信道上的量子信息 . . . . . . . . 418
8.2.1 量子容量与相关概念的定义 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .418
8.2.2 量子容量定理. . . . . . . . . . . . . .425
8.3 非可加性和超激发 . . . . . . . . . . . . . 440
8.3.1 Holevo 容量的非可加性. . . . .441
8.3.2 量子信道容量的超激发 . . . . . 446
8.4 习题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455
8.5 参考书目注释. . . . . . . . . . . . . . . . . .457
参考文献 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459
