薛定谔方程被誉为“十大经典公式”之一，它揭示了微观物理世界中物质运动的基本规律，是原子物理学中处理一切非相对论问题的有力工具。本书面向量子力学方向的初学者，旨在通过简明易懂的讲解帮助读者理解薛定谔方程及其解。全书首先概述建立薛定谔方程和量子力学的数学基础，然后对薛定谔方程在时间相关和时间无关两种形式上进行逐项分解，之后讨论量子波函数——薛定谔方程的解，zui后介绍相关原理和技术在无限矩形势阱、有限矩形势阱和量子谐振子中的应用。本书配套网站免费提供丰富的学习资源，包括每章习题的完整解答、对补充主题的深入讨论、交互式仿真代码、视频课程、术语表等，便于读者完成自主学习。

无

本书旨在帮助读者理解薛定谔方程及其解。全书简明易懂，并配有各种免费的在线材料。这些材料包括每章中习题的完整解答过程，以及对补充主题的深入讨论，还有一系列的视频播客，这些视频对每一章中最重要的概念、等式、图表和数学技巧进行了解释。
本书可作为许多涉及薛定谔方程和量子力学的综合性教材的补充，编写本书的目的是为读者理解量子力学提供概念和数学基础。所以，如果你正在学习一门量子力学的课程，或者正在研究现代物理学，但是不清楚波函数和向量之间的关系，或者你想知道内积的物理意义，了解什么是特征函数，以及为什么它们如此重要，那么就可以参考本书。
我把本书写得尽可能模块化，以便读者直接阅读感兴趣的章节。第1章和第2章对建立薛定谔方程和量子力学的数学基础进行概述，内容主要包括广义向量空间、正交函数、算子、特征函数以及左矢、右矢和内积的Dirac表示法。这是相当繁重的数学工作，所以在这两章的每一节中，都包含一个名为“本节的主要思想”的模块，该模块简明地总结了该节中最重要的概念和技巧。同时，每节还包含一个名为“与量子力学的关联性”的模块，它解释了该部分的数学知识是如何与量子力学联系起来的。
因此，推荐读者先阅读第1章和第2章每一节中的“本节的主要思想”，如果你已经理解这些主题，那么可以跳过这些章节，直接进入第3章，第3章对薛定谔方程在时间相关和时间无关两种形式上进行了逐项分解。如果你已经了解薛定谔方程的意义，那么可以进入第4章，第4章讨论量子波函数，你会发现量子波函数正是薛定谔方程的解。最后，在第5章中，你可以看到这些原理和数学技术如何应用到三种特定势：无限深方势阱、有限深方势阱和量子谐振子。
关于如何用最好的方式来解释那些令人困扰且具有挑战性的概念，我思虑良久。本书正是为了解决这个问题，我的目标正如A. W. Sparrow的小书Basic Wireless的目标一样：并不是要取代已经出版的众多教科书，而是希望通过对基础知识的简明介绍，为读者提供一个方便的跳板。如果我的努力能获得Sparrow的一半成功，那么这本书便是物有所值了。
关于本书配套资源
本书配有丰富的交互式数字资源，读者可通过配套网站获得。这些资源旨在帮助读者学习相关知识，并将理论知识应用到实践中，特别是支持自主学习，并实时提供反馈。
请访问www.cambridge.org/fleisch-SGSE以获取相关资源。
以下图标出现在页边，用于指示相关内容在网站上的对应资源。
交互模拟
学习目标
视频
操作问题
习题
词汇表：词汇表中的术语在书中以黑体突出显示，可在网站上找到术语的具体解释。
我们可能会不时更新网站，并随时更改或删除内容。我们不保证网站或网站上的任何部分始终可用、不间断或无错误，这些内容只是临时的，或者说仅仅访问之时有效。我们可能会暂停或更改网站的全部或任何部分，恕不另行通知。不管出于何种原因，若网站或网站内容在任何时间点或时间段不可用，我们将不对此负责。

计算机/量子

薛定谔方程敲开了微观世界的大门，在物理学研究史上具有伟大的意义，被誉为“十大经典公式”之一。它揭示了微观物理世界中物质运动的基本规律，是原子物理学中处理一切非相对论问题的有力工具，被广泛应用于原子、分子、固体物理、核物理、化学等领域。

然而，对于量子力学的初学者而言，用来求解薛定谔方程和用来分析结果波函数的数学技巧令人费解。本书旨在协助初学者跨过这道难关，通过简明易懂的讲解帮助读者理解薛定谔方程及其解。

全书共5章，第1章和第2章概述建立薛定谔方程和量子力学的数学基础，第3章对薛定谔方程在时间相关和时间无关两种形式上进行逐项分解，第4章讨论量子波函数——薛定谔方程的解，第5章介绍相关原理和技术在无限深方势阱、有限深方势阱和量子谐振子中的应用。

本书网站www.cambridge.org/fleisch-SGSE免费提供丰富的配套资源，包括每章习题的完整解答、对补充主题的深入讨论、交互式仿真代码、视频课程、术语表等，便于读者完成自主学习。

20世纪，科学家创建的最伟大的两门新兴学科是量子力学与计算机科学。牛顿定律阐述了经典力学中的基本运动规律，适合描述宏观和低速等运动问题，但是描述微观世界的粒子运行规则（如电子围绕着原子核运动等）必须运用量子力学。邱奇-图灵论题（Church-Turing thesis）使人类明确了各种问题的可计算性，冯·诺伊曼提出了人类第一台电子计算机的设计方案。虽然量子力学与计算机科学密切相关，但是遵循量子力学原理的量子计算机是近四十年前由理查德·菲利普·费曼（Richard Phillips Feynman）提出的。
在量子力学中，体系的状态不能用力学量（如位置、速度、动量和能量等）的值来确定，而要用力学量的函数（即波函数）来确定，因此波函数是量子力学研究的主要对象。力学量取值的概率分布如何，这个分布随时间如何变化，这些问题都可以通过求解波函数的薛定谔方程得到解答。因此，薛定谔方程是量子力学中的核心方程，相当于牛顿第二定律在经典力学中的地位。正是基于薛定谔方程的建立，之后才有了关于量子力学的诠释、波函数坍缩、量子纠缠、多重世界等的深入讨论。可以说，薛定谔方程敲开了微观世界的大门。
薛定谔方程在物理学研究史上具有极伟大的意义，被誉为“十大经典公式”之一，是世界原子物理学文献中应用最广泛、影响最大的公式。它揭示了微观物理世界中物质运动的基本规律，是原子物理学中处理一切非相对论问题的有力工具，被广泛应用于原子、分子、固体物理、核物理、化学等领域。
本书共有5章，第1章和第2章概述建立薛定谔方程和量子力学的数学基础，其中包括广义向量空间、正交函数、算子、特征函数以及左矢、右矢和内积的Dirac表示法。第3章对薛定谔方程进行逐项分解，将方程分为与时间相关和与时间无关两种形式，帮助读者了解薛定谔方程的意义。第4章讨论量子波函数，而量子波函数正是薛定谔方程的解。第5章将前4章描述的原理和数学技术应用到无限深方势阱、有限深方势阱和量子谐振子三种特定势中。
本书的定位为教材，以尽可能简明易懂的方式向读者介绍薛定谔方程及其解的基本知识，希望能帮助读者更好地理解量子力学的概念和数学技巧。此外，本书也可作为许多涉及量子力学和薛定谔方程的综合性教材的补充，虽然研究量子计算未必需要系统学习量子力学，但是学习本书，不仅有助于更好地学习量子力学，也有助于更深入地理解量子计算。

邱道文
2021年12月于广州中山大学

译者序
前言
致谢
第1章　向量和函数 …… 1
1.1　基向量 …… 2
1.2　Dirac符号 …… 9
1.3　抽象向量和抽象函数 …… 17
1.4　复数、复向量和复函数 …… 22
1.5　正交函数 …… 26
1.6　通过内积求分量 …… 31
1.7　习题 …… 36
第2章　算子和特征函数 …… 39
2.1　算子、特征向量和特征函数 …… 39
2.2　Dirac符号的算子 …… 45
2.3　Hermitian算子 …… 52
2.4　投影算子 …… 61
2.5　期望值 …… 70
2.6　习题 …… 75
第3章　薛定谔方程 …… 79
3.1　薛定谔方程的起源 …… 80
3.2　薛定谔方程的含义 …… 89
3.3　与时间无关的薛定谔方程 …… 98
3.4　三维薛定谔方程 …… 102
3.5　习题 …… 116
第4章　解薛定谔方程 …… 119
4.1　Born法则和Copenhagen解释 …… 120
4.2　量子态、波函数和算子 …… 122
4.3　量子波函数的特征 …… 127
4.4　Fourier理论和量子波包 …… 138
4.5　位置和动量波函数与算子 …… 162
4.6　习题 …… 177
第5章　特定势的解 …… 179
5.1　无限深方势阱 …… 180
5.2　有限深方势阱 …… 206
5.3　谐振子 …… 236
5.4　习题 …… 265
参考文献 …… 267