本书讨论偏微分方程在工程技术科学与自然科学中的应用，以傅里叶方法（傅里叶级数、傅里叶变换和拉普拉斯变换）作为讲授的主线，讲授的内容是高级工程数学、自然科学范畴的数学方法中非常重要的部分。

WU

本书讨论偏微分方程在工程技术科学与自然科学中的应用，适合作为涉及傅里叶级数、正交函数或边值问题的课程的教材，也可以作为学习格林函数、变换方法或部分高级工程数学和自然科学中的数学方法等相关课程的教材．当然，读者也可以把本书视为学习应用数学的入门书．
本书突出简单的热传导、振动弦和振动膜模型，从物理原理仔细推演方程，引出许多数学主题，并耐心讨论求解方法．对书中的数学结果通常给出物理解释，定理证明（如果给出的话）放在根据解释性实例所做的说明之后．本书包含1000多道难易程度不同的习题，书后还附有对带“*”号习题的解答．
本书对分离变量法、傅里叶级数、正交函数和傅里叶变换等标准内容进行了相当详细的讨论；深入介绍了偏微分方程的有限差分数值法；简要叙述了有限元法；广泛介绍了线性与非线性波动方程的特征线法，包括对交通流量冲击波动态特征的讨论；详细介绍了非齐次问题，其中包括拉普拉斯方程、热传导方程和波动方程的格林函数．此外，本书还包含大量其他主题，如傅里叶级数的微分与积分、施图姆–刘维尔特征函数与多维特征函数、瑞利商、振动圆形膜的贝塞尔函数以及球面问题的勒让德多项式；包含某些更深的题材，如大特征值的渐近展开式、利用弗雷德霍姆择一性计算扰动频率、有限差分法的稳定性条件以及散射与逆散射．
简单讨论的应用包括：流体流过圆柱体的曳力与升力，光波与声波的斯涅耳折射律，从波动方程推导短时距方程，水波的色散关系，波导与光纤．
本书在作者对多所大学（麻省理工学院、加州大学圣迭戈分校、拉特格大学、俄亥俄州立大学和南卫理公会大学）的不同学生讲授这门课程的经验的基础上做了改进．读者需要具备微积分和初等常微分方程的知识，书中有时会在需要的地方对这些知识加以回顾．对初学学生开设的课程，核心内容一般包含第1～5章与第7章中的大部分材料，不过通常还需要再补充少许其他题材．本书对教师而言有一定的灵活性，因为第6～13章的大部分内容仅依赖于第1～5章的材料．第11章关于热传导方程与波动方程的格林函数例外，它依赖第9章和第10章的材料．
第14章是更深入的内容，讨论线性与非线性色散波、稳定性和扰动法．这一章对优秀本科生来说是比较容易理解的．该章分析线性色散波的群速度与包络方程，其应用包括光学系统中的彩虹焦散线；讨论非线性色散波，包括对弱非线性长波方程（KdV方程）和弱非线性波包络方程（非线性薛定谔方程）的孤立子的初步讨论；此外，讨论偏微分方程的不稳定性与分歧现象以及扰动法（多尺度问题与边界层问题）．本章还描述了当代物理学问题中偏微分方程的一些前沿研究成果．
本书内容包括：化学污染物的扩散、频率的伽辽金数值逼近、热传导方程的相似解、波动方程的二维格林函数、冲击波速度及其分解的非唯一性、行进冲击波的空间结构、常微分方程组的稳定性与分歧理论、两个空间维的波包络方程、调制不稳定性的分析、长波不稳定性、反应扩散方程的模式形成以及图灵不稳定性等．
在第5版中，尽力保持第4版原貌，同时做出了重大改进．第2章对线性原理进行了简单的改进，证明了热传导方程是线性方程．第4章包含了对振动膜的直接推导，这是对以前版本的很大改进．此外，还增加了一些新的简单练习．第2、4、5、7和10章中求解偏微分方程的许多练习都通过添加大量提示而简化了．所涉及问题通常都是一样的，因此学习以前版本的读者适应新版不会有任何困难．在这些练习中，提示通常包括变量分离，所以对学生来说解题更直接．对于偏微分方程的初值和边值问题，学生应该更容易得到正确的答案．
书中用200多幅图形解释各种概念，这些图形是作者用MATLAB制作的．大部分数学图形文件可以从Web网页http://faculty.smu.edu/rhaberma获得．现代技术中的图形能力是特别重要的，我在书中不遗余力地用三维可视化图形解释各种概念．
总的来说，我已清楚地讲解偏微分方程的许多方面，可引领读者进入这一广阔而重要的领域．当学生有了一定能力与理解力后，可以把本书作为参考读物，至于补充材料，读者应从其他书籍获取，例如“参考文献”中所列的某些书籍．
最后希望本书能使读者在研究数学同自然科学的关系中获得乐趣．
作者对审稿人Andrew Belmonte（宾夕法尼亚州立大学）、William Fitzgibbon（休斯顿大学）、Isom Herron（Rensselaer工艺学院）、Steven G. Krantz（华盛顿大学）、Julie Levandosky（斯坦福大学）、Jennifer Mueller（科罗拉多州立大学）、Martin Schechter（加利福尼亚大学欧文分校）、Judith A. Silver（马歇尔大学）、Sabir Umarov（塔夫茨大学）、Jianke Yang（佛蒙特大学）表示衷心的感谢.
我也要感谢本书以往、现在和未来的读者（学生与教师）．此外，在对前一版进行LaTeX排版时，Shari Webster曾给予我很大帮助，在此表示由衷的谢意．

Richard Haberman
rhaberma@mail.smu.edu

数学

本书讨论偏微分方程在工程技术科学与自然科学中的应用，以傅里叶方法（傅里叶级数、傅里叶变换和拉普拉斯变换）作为讲授的主线，讲授的内容是高级工程数学、自然科学范畴的数学方法中非常重要的部分。
本书注重应用，内容广泛，层次清晰，适合作为与傅里叶级数、正交函数和边值问题等相关的课程的教材，也可以作为学习格林函数、变换方法或部分高级工程数学和自然科学中的数学方法等的参考书，同时是一本非常合适的学习应用数学的入门书。

作者简介
理查德·哈伯曼（Richard Haberman）　1971年于麻省理工学院获得应用数学专业博士学位，现任南卫理公会大学数学系教授。他的主要研究方向包括奇异扰动法、非线性动力系统、非线性波动以及数学模型。

第1章　热传导方程 1
1.1　引言 1
1.2　一维杆中热传导方程的推导 2
1.3　边界条件 11
1.4　平衡温度分布 14
1.4.1　给定温度 14
1.4.2　绝热边界 16
1.5　二维或三维热传导方程的推导 19
第2章　分离变量法 32
2.1　引言 32
2.2　线性性质 32
2.3　在有限端处具有零温度的热传导方程 35
2.3.1　概述 35
2.3.2　分离变量 35
2.3.3　时变常微分方程 37
2.3.4　边值问题 38
2.3.5　乘积解和叠加原理 43
2.3.6　正弦函数的正交性 46
2.3.7　实例 48
2.3.8　小结 50
2.4　有关热传导方程的例子：其他边值问题 55
2.4.1　绝热端杆中的热传导 55
2.4.2　细绝热圆环中的热传导 59
2.4.3　边值问题小结 64
2.5　拉普拉斯方程：求解和定性性质 67
2.5.1　矩形区域内的拉普拉斯方程 67
2.5.2　圆盘内的拉普拉斯方程 72
2.5.3　绕过圆柱体的流体流动（升力） 76
2.5.4　拉普拉斯方程的定性性质 79
第3章　傅里叶级数 86
3.1　引言 86
3.2　收敛定理 88
3.3　傅里叶余弦级数和傅里叶正弦级数 92
3.3.1　傅里叶正弦级数 92
3.3.2　傅里叶余弦级数 102
3.3.3　用正弦级数和余弦级数表示f(x) 105
3.3.4　偶部和奇部 106
3.3.5　连续傅里叶级数 107
3.4　傅里叶级数的逐项微分 112
3.5　傅里叶级数的逐项积分 123
3.6　傅里叶级数的复形式 127
第4章　波动方程：振动弦与振动膜 130
4.1　引言 130
4.2　弦振动方程的建立 130
4.3　边界条件 133
4.4　端点固定的振动弦 137
4.5　振动膜 143
4.6　电磁波与声波的反射与折射 145
4.6.1　斯涅耳折射定律 146
4.6.2　反射波与折射波的强度（振幅） 148
4.6.3　内部全反射 149
第5章　施图姆–刘维尔特征值问题 151
5.1　引言 151
5.2　例子 151
5.2.1　非均匀杆内的热流 151
5.2.2　圆对称热流 153
5.3　施图姆–刘维尔特征值问题 155
5.3.1　一般分类 155
5.3.2　正则施图姆–刘维尔特征值问题 156
5.3.3　定理的举例和说明 157
5.4　例子：非均匀杆中的无热源热流 163
5.5　自伴算子和施图姆–刘维尔特征值问题 167
5.6　瑞利商 184
5.7　例子：非均匀弦的振动 189
5.8　第三类边界条件 192
5.9　大特征值（渐近行为） 207
5.10　逼近性质 211
第6章　偏微分方程的有限差分数值法 217
6.1　引言 217
6.2　有限差分与截断泰勒级数 217
6.3　热传导方程 224
6.3.1　概述 224
6.3.2　偏差分方程 224
6.3.3　计算 226
6.3.4　傅里叶–冯·诺伊曼稳定性分析 228
6.3.5　偏差分方程的分离变量和常差分方程的解析解 235
6.3.6　矩阵记号 238
6.3.7　非齐次问题 242
6.3.8　其他数值格式 242
6.3.9　其他类型的边界条件 243
6.4　二维热传导方程 247
6.5　波动方程 250
6.6　拉普拉斯方程 253
6.7　有限元法 260
6.7.1　非正交函数逼近（偏微分方程的弱形式） 260
6.7.2　最简三角形有限元 263
第7章　高维偏微分方程 268
7.1　引言 268
7.2　时间变量的分离 269
7.2.1　振动膜：任意形状 269
7.2.2　热传导：任意区域 271
7.2.3　小结 272
7.3　振动矩形膜 272
7.4　特征值问题?φ+φ= 0的定理叙述和说明 282
7.5　格林公式、自伴算子和多维特征值问题 287
7.6　瑞利商和拉普拉斯方程 293
7.6.1　瑞利商 293
7.6.2　依赖时间的热传导方程与拉普拉斯方程 294
7.7　振动圆形膜和贝塞尔函数 295
7.7.1　概述 295
7.7.2　分离变量 296
7.7.3　特征值问题（一维情形） 297
7.7.4　贝塞尔微分方程 299
7.7.5　奇异点和贝塞尔微分方程 299
7.7.6　贝塞尔函数及其渐近性质（在z=0附近） 301
7.7.7　涉及贝塞尔函数的特征值问题 302
7.7.8　振动圆形膜的初值问题 304
7.7.9　圆对称情形 305
7.8　贝塞尔函数的进一步讨论 312
7.8.1　贝塞尔函数的定性性质 312
7.8.2　特征值的渐近公式 313
7.8.3　贝塞尔函数的零点和结点曲线 314
7.8.4　贝塞尔函数的级数表示 316
7.9　圆柱体上的拉普拉斯方程 319
7.9.1　概述 319
7.9.2　分离变量 320
7.9.3　侧面及顶部或底部为零温度的情形 322
7.9.4　顶部和底部为零温度的情形 323
7.9.5　修正贝塞尔函数 326
7.10　球内的问题和勒让德多项式 330
7.10.1　概述 330
7.10.2　分离变量和一维特征值问题 330
7.10.3　连带勒让德函数和勒让德多项式 332
7.10.4　径向特征值问题 335
7.10.5　乘积解、振动模式和初值问题 335
7.10.6　球内部的拉普拉斯方程 336
第8章　非齐次问题 341
8.1　引言 341
8.2　有源热流与非齐次边界条件 341
8.3　带齐次边界条件的特征函数展开法（微分特征函数的级数） 347
8.4　利用格林公式的特征函数展开法（带或不带齐次边界条件） 353
8.5　受迫振动膜与共振 358
8.6　泊松方程 366
第9章　定常问题的格林函数 374
9.1　引言 374
9.2　一维热传导方程 374
9.3　常微分方程边值问题的格林函数 379
9.3.1　一维稳态热传导方程 379
9.3.2　参数变易法 379
9.3.3　格林函数的特征函数展开法 382
9.3.4　狄拉克δ函数及其与格林函数的关系 384
9.3.5　非齐次边界条件 391
9.3.6　小结 392
9.4　弗雷德霍姆择一性与广义格林函数 398
9.4.1　概述 398
9.4.2　弗雷德霍姆择一性 400
9.4.3　广义格林函数 402
9.5　泊松方程的格林函数 409
9.5.1　概述 409
9.5.2　多维狄拉克δ函数与格林函数 410
9.5.3　用特征函数展开法表示格林函数与弗雷德霍姆择一性 411
9.5.4　格林函数的直接解法（一维特征函数）（可选） 413
9.5.5　用格林函数解带非齐次边界条件的问题 415
9.5.6　无穷空间格林函数 416
9.5.7　用无穷空间格林函数得到有界区域的格林函数 419
9.5.8　用无穷空间格林函数求半无穷平面（y>0）的格林函数：像源法 420
9.5.9　圆的格林函数：像源法 423
9.6　扰动特征值问题 430
9.6.1　概述 430
9.6.2　数学例子 431
9.6.3　拟圆膜振动 432
9.7　小结 435
第10章　无穷域问题：偏微分方程的傅里叶变换解法 437
10.1　引言 437
10.2　无穷域上的热传导方程 437
10.3　傅里叶变换对 441
10.3.1　傅里叶级数恒等式的启示 441
10.3.2　傅里叶变换 442
10.3.3　高斯函数的傅里叶逆变换 443
10.4　傅里叶变换与热传导方程 450
10.4.1　热传导方程 450
10.4.2　傅里叶变换热传导方程：导数的变换 455
10.4.3　卷积定理 457
10.4.4　傅里叶变换性质小结 461
10.5　傅里叶正弦和余弦变换：半无穷区间上的热传导方程 463
10.5.1　概述 463
10.5.2　半无穷区间上的热传导方程Ⅰ 463
10.5.3　傅里叶正弦和余弦变换 465
10.5.4　导数的变换 466
10.5.5　半无穷区间上的热传导方程Ⅱ 467
10.5.6　傅里叶正弦和余弦变换表 469
10.6　应用变换求解的例子 473
10.6.1　无穷区间上的一维波动方程 473
10.6.2　半无穷带上的拉普拉斯方程 475
10.6.3　半平面上的拉普拉斯方程 479
10.6.4　四分之一平面上的拉普拉斯方程 482
10.6.5　平面上的热传导方程（二维傅里叶变换） 486
10.6.6　二重傅里叶变换表 490
10.7　散射和逆散射 495
第11章　波动方程和热传导方程的格林函数 499
11.1　引言 499
11.2　波动方程的格林函数 499
11.2.1　概述 499
11.2.2　格林公式 500
11.2.3　互反性 502
11.2.4　使用格林函数 504
11.2.5　波动方程的格林函数 506
11.2.6　格林函数的另一个微分方程 506
11.2.7　一维波动方程的无穷空间格林函数和达朗贝尔解 507
11.2.8　三维波动方程的无穷空间格林函数（惠更斯原理） 509
11.2.9　二维无穷空间格林函数 511
11.2.10　小结 511
11.3　热传导方程的格林函数 514
11.3.1　概述 514
11.3.2　热传导方程的非自伴特性 515
11.3.3　格林公式 516
11.3.4　伴随格林函数 517
11.3.5　互反性 518
11.3.6　用格林函数表示解 518
11.3.7　格林函数的另一个微分方程 520
11.3.8　扩散方程的无穷空间格林函数 521
11.3.9　热传导方程的格林函数（在半无穷域上） 522
11.3.10　热传导方程的格林函数（在有限区域上） 523
第12章　线性和拟线性波动方程的特征线法 527
12.1　引言 527
12.2　一阶波动方程的特征线 528
12.2.1　概述 528
12.2.2　一阶偏微分方程的特征线法 529
12.3　一维波动方程的特征线法 534
12.3.1　通解 534
12.3.2　初值问题（无穷区域） 536
12.3.3　达朗贝尔解 540
12.4　半无界弦和反射 543
12.5　定长振动弦的特征线法 548
12.6　拟线性偏微分方程的特征线法 552
12.6.1　特征线法 552
12.6.2　交通流量 553
12.6.3　特征线法(Q=0) 555
12.6.4　冲击波 558
12.6.5　拟线性举例 570
12.7　一阶非线性偏微分方程 575
12.7.1　由波动方程推导出的短时距方程 575
12.7.2　求解均匀介质中的短时距方程和反射波 576
12.7.3　一阶非线性偏微分方程 579
第13章　偏微分方程的拉普拉斯变换解法 581
13.1　引言 581
13.2　拉普拉斯变换的性质 581
13.2.1　概述 581
13.2.2　拉普拉斯变换的奇点 582
13.2.3　导数的变换 586
13.2.4　卷积定理 587
13.3　常微分方程初值问题的格林函数 591
13.4　波动方程的信号问题 593
13.5　有限长度振动弦的信号问题 597
13.6　波动方程及其格林函数 600
13.7　用复平面上的围线积分计算拉普拉斯逆变换 603
13.8　利用拉普拉斯变换求解波动方程（复变量） 608
第14章　色散波：缓变、稳定性、非线性性和扰动法 611
14.1　引言 611
14.2　色散波和群速度 612
14.2.1　行波和色散关系 612
14.2.2　群速度Ⅰ 615
14.3　波导 617
14.3.1　对f频率集中周期性源的响应 620
14.3.2　模式传播的格林函数 620
14.3.3　模式不传播的格林函数 621
14.3.4　设计思路 622
14.4　光纤 623
14.5　群速度Ⅱ和稳定相位法 627
14.5.1　稳定相位法 628
14.5.2　对线性色散波的应用 630
14.6　缓变色散波（群速度和焦散曲线） 634
14.6.1　色散偏微分方程的近似解 634
14.6.2　焦散曲线的形成 636
14.7　波包络方程（集中波数） 642
14.7.1　薛定谔方程 643
14.7.2　线性化KdV方程 645
14.7.3　非线性色散波：KdV方程 647
14.7.4　孤立子与逆散射 650
14.7.5　非线性薛定谔方程 652
14.8　稳定性和不稳定性 656
14.8.1　常微分方程和分歧理论简介 656
14.8.2　偏微分方程稳定平衡解的基本例子 663
14.8.3　偏微分方程的典型不稳定平衡点和模式形成 664
14.8.4　不适定问题 667
14.8.5　微不稳定色散波和线性化复金茨堡–朗道方程 668
14.8.6　非线性复金茨堡–朗道方程 670
14.8.7　长波的不稳定性 676
14.8.8　反应扩散方程的模式形成和图灵不稳定性 676
14.9　奇异扰动法：多尺度 683
14.9.1　常微分方程：弱非线性阻尼振子 683
14.9.2　常微分方程：缓变振子 686
14.9.3　固定空间域上的微不稳定偏微分方程 690
14.9.4　关于波动方程的缓变介质 692
14.9.5　缓变线性色散波（包括弱非线性作用） 695
14.10　奇异扰动法：匹配渐近展开的边界层法 700
14.10.1　常微分方程中的边界层 700
14.10.2　由对流支配的污染物扩散 705
参考文献 712
带*号习题的答案 716


Contents
1 Heat Equation 1
1.1Introduction .................................1
1.2 Derivation of the Conduction of Heat in a One-Dimensional Rod . . . . 2
1.3BoundaryConditions ............................11
1.4 EquilibriumTemperature Distribution ................... 14
1.4.1PrescribedTemperature .....................14
1.4.2InsulatedBoundaries .......................16
1.5 Derivation of the Heat Equation in Two or Three Dimensions ...... 19
2 Method of Separation of Variables 32
2.1Introduction .................................32
2.2 Linearity ................................... 32
2.3 Heat Equation with ZeroTemperatures atFinite Ends ......... 35
2.3.1Introduction ............................35
2.3.2SeparationofVariables ......................35
2.3.3 Time-Dependent OrdinaryDi.erential Equation ........ 37
2.3.4 BoundaryValue (Eigenvalue) Problem ............. 38
2.3.5 Product Solutions and the Principle of Superposition ..... 43
2.3.6OrthogonalityofSines ......................46
2.3.7 Formulation, Solution, and Interpretation of an Example . . . 48
2.3.8Summary.............................. 50
2.4 Worked Examples with the Heat Equation (Other Boundary ValueProblems) ...............................55
2.4.1 Heat Conduction in a Rod with Insulated Ends ........ 55
2.4.2 Heat Conduction in a Thin Insulated Circular Ring ...... 59
2.4.3 Summary of BoundaryValue Problems ............. 64
2.5 Laplace’s Equation: Solutions and Qualitative Properties ........ 67
2.5.1 Laplace’s Equation Inside a Rectangle ............. 67
2.5.2 Laplace’s Equation Inside a Circular Disk ........... 72
2.5.3 FluidFlow Outsidea Circular Cylinder (Lift) ......... 76
2.5.4 Qualitative Properties of Laplace’s Equation .......... 79
3 Fourier Series 86
3.1Introduction .................................86
3.2StatementofConvergenceTheorem ....................88
3.3 FourierCosineandSineSeries .......................92
3.3.1FourierSineSeries ........................92
3.3.2FourierCosineSeries .......................102
3.3.3 Representing f (x)by Both a Sine and Cosine Series . . . . . . 105
3.3.4EvenandOddParts .......................106
3.3.5ContinuousFourierSeries ....................107
3.4 Term-by-Term Di.erentiation ofFourier Series .............. 112
3.5 Term-By-Term Integration ofFourier Series ................ 123
3.6ComplexFormofFourierSeries ......................127
4 Wave Equation: Vibrating Strings and Membranes 130
4.1Introduction .................................130
4.2 DerivationofaVertically Vibrating String ................130
4.3BoundaryConditions ............................133
4.4 VibratingStringwithFixedEnds .....................137
4.5 VibratingMembrane............................. 143
4.6 Re.ection and Refraction of Electromagnetic (Light)andAcoustic(Sound)Waves .................... 145
4.6.1Snell’sLawofRefraction .....................146
4.6.2 Intensity (Amplitude) of Re.ected and RefractedWaves . . . 148
4.6.3TotalInternalRe.ection .....................149
5 Sturm–Liouville Eigenvalue Problems 151
5.1Introduction .................................151
5.2 Examples ................................... 151
5.2.1 HeatFlowinaNonuniformRod .................151
5.2.2 Circularly Symmetric HeatFlow .................153
5.3 Sturm–Liouville Eigenvalue Problems ...................155
5.3.1GeneralClassi.cation .......................155
5.3.2 Regular Sturm–Liouville Eigenvalue Problem .......... 156
5.3.3 Example and Illustration of Theorems ............. 157
5.4 Worked Example: Heat Flow in a Nonuniform Rodwithout Sources . . 163
5.5 Self-AdjointOperators and Sturm–Liouville Eigenvalue Problems . . . . 167
5.6RayleighQuotient .............................. 184
5.7 Worked Example: Vibrations of a Nonuniform String ........... 189
5.8 Boundary Conditionsofthe ThirdKind ..................192
5.9 Large Eigenvalues (Asymptotic Behavior) ................. 207
5.10ApproximationProperties .......................... 211
6 Finite Di.erence Numerical Methods for Partial Di.erential Equations 217
6.1Introduction .................................217
6.2 Finite Di.erences andTruncatedTaylor Series .............. 217
6.3HeatEquation ................................224
6.3.1 Introduction ............................224
6.3.2 APartial Di.erenceEquation ..................224
6.3.3 Computations........................... 226
6.3.4 Fourier–von Neumann Stability Analysis ............ 228
6.3.5 Separation ofVariables forPartial Di.erence Equations and Analytic Solutions of OrdinaryDi.erence Equations . . . 235
6.3.6 MatrixNotation .......................... 238
6.3.7 NonhomogeneousProblems ...................242
6.3.8 OtherNumericalSchemes ....................242
6.3.9 OtherTypes of Boundary Conditions .............. 243
6.4Two-DimensionalHeatEquation ......................247
6.5WaveEquation ................................250
6.6Laplace’sEquation ..............................253
6.7 FiniteElementMethod ........................... 260
6.7.1 Approximation with NonorthogonalFunctions (WeakForm of thePartial Di.erential Equation) ....... 260
6.7.2 The SimplestTriangular Finite Elements ............ 263
7 Higher-Dimensional Partial Di.erential Equations 268
7.1Introduction .................................268
7.2SeparationoftheTimeVariable ......................269
7.2.1 VibratingMembrane:AnyShape ................269
7.2.2 HeatConduction:AnyRegion ..................271
7.2.3 Summary.............................. 272
7.3 VibratingRectangularMembrane .....................272
7.4 Statements and Illustrations of Theorems for the Eigenvalue Problem .2φ +λφ =0 ...........................282
7.5 Green’sFormula, Self-AdjointOperators, and Multidimensional EigenvalueProblems............................. 287
7.6 Rayleigh Quotient and Laplace’s Equation ................ 293
7.6.1 RayleighQuotient ......................... 293
7.6.2 Time-Dependent Heat Equation and Laplace’s Equation . . . 294
7.7 Vibrating Circular Membrane and BesselFunctions ........... 295
7.7.1 Introduction ............................295
7.7.2 SeparationofVariables ......................296
7.7.3 Eigenvalue Problems (One-Dimensional) ............ 297
7.7.4 Bessel’s Di.erentialEquation ..................299
7.7.5 SingularPoints and Bessel’s Di.erential Equation ....... 299
7.7.6 BesselFunctions and Their Asymptotic Properties (Near z =0) ............................301
7.7.7 Eigenvalue Problem Involving BesselFunctions ........ 302
7.7.8 InitialValue Problem fora Vibrating Circular Membrane. . . 304
7.7.9 CircularlySymmetricCase ....................305
7.8 MoreonBesselFunctions .......................... 312
7.8.1 Qualitative Properties of BesselFunctions ........... 312
7.8.2 AsymptoticFormulas for the Eigenvalues ............ 313
7.8.3 Zeros of BesselFunctions and Nodal Curves .......... 314
7.8.4 Series Representation of BesselFunctions ............ 316
7.9 Laplace’s Equationina Circular Cylinder .................319
7.9.1 Introduction ............................319
7.9.2 SeparationofVariables ......................320
7.9.3 ZeroTemperature on the Lateral Sides and on the Bottom orTop ............................... 322
7.9.4 ZeroTemperature on theTop and Bottom ........... 323
7.9.5 Modi.edBesselFunctions ....................326
7.10 Spherical Problems and LegendrePolynomials .............. 330
7.10.1 Introduction ............................330
7.10.2 Separation ofVariables and One-Dimensional Eigenvalue Problems.............................. 330
7.10.3 Associated LegendreFunctions and LegendrePolynomials . . 332
7.10.4 RadialEigenvalueProblems ...................335
7.10.5 Product Solutions, Modes of Vibration, and the Initial ValueProblem........................... 335
7.10.6 Laplace’s Equation Inside a Spherical Cavity .......... 336
8 Nonhomogeneous Problems 341
8.1 Introduction .................................341
8.2 Heat Flow with Sources and Nonhomogeneous BoundaryConditions ............................341
8.3 Method of Eigenfunction Expansion with Homogeneous Boundary Conditions (Di.erentiating Series of Eigenfunctions) ........... 347
8.4 Method of Eigenfunction Expansion Using Green’sFormula (With or Without Homogeneous Boundary Conditions) ......... 353
8.5 Forced Vibrating Membranes and Resonance ............... 358
8.6 Poisson’sEquation ..............................366
9 Green’s Functions for Time-Independent Problems 374
9.1 Introduction .................................374
9.2 One-Dimensional Heat Equation (Optional) ................ 374
9.3 Green’sFunctions for BoundaryValue Problems for Ordinary Di.erentialEquations ............................379
9.3.1 One-Dimensional Steady-State Heat Equation ......... 379
9.3.2 The MethodofVariation ofParameters (Optional) ...... 379
9.3.3 The Methodof Eigenfunction Expansion for Green’s Functions .............................382
9.3.4 TheDirac DeltaFunction and Its Relationship to Green’s Functions .............................384
9.3.5 Nonhomogeneous Boundary Conditions ............. 391
9.3.6 Limitof Time-Dependent Problem ...............392
9.4 Fredholm Alternative and Generalized Green’sFunctions ........ 398
9.4.1 Introduction ............................398
9.4.2 FredholmAlternative ....................... 400
9.4.3 Generalized Green’sFunctions ..................402
9.5 Green’sFunctions forPoisson’s Equation ................. 409
9.5.1 Introduction ............................409
9.5.2 Multidimensional DiracDeltaFunction and Green’s Functions .............................410
9.5.3 Green’sFunctionsby the Method of Eigenfunction Expansion and theFredholm Alternative ............ 411
9.5.4 Direct Solution of Green’sFunctions (One-Dimensional Eigenfunctions)(Optional) ....................413
9.5.5 Using Green’sFunctions for Problems with Nonhomogeneous BoundaryConditions .......................415
9.5.6 In.nite Space Green’sFunctions .................416
9.5.7 Green’sFunctions for Bounded Domains Using In.nite Space Green’sFunctions ......................... 419
9.5.8 Green’sFunctions fora Semi-In.nite Plane(y> 0) Using In.nite Space Green’sFunctions: The Method of Images . . . 420
9.5.9 Green’sFunctions fora Circle: The Methodof Images . . . . 423
9.6 PerturbedEigenvalueProblems.......................430
9.6.1 Introduction ............................430
9.6.2 MathematicalExample ......................431
9.6.3 Vibrating Nearly Circular Membrane .............. 432
9.7Summary ...................................435
10 In.nite Domain Problems: Fourier Transform Solutions of Partial Di.erential Equations 437
10.1Introduction .................................437
10.2 HeatEquationonan In.niteDomain ...................437
10.3FourierTransformPair ........................... 441
10.3.1 Motivation fromFourier Series Identity ............. 441
10.3.2 FourierTransform ......................... 442
10.3.3 InverseFourierTransformofa Gaussian ............443
10.4 FourierTransformandthe Heat Equation .................450
10.4.1 HeatEquation ........................... 450
10.4.2 FourierTransforming the Heat Equation:Transforms ofDerivatives ........................... 455
10.4.3 ConvolutionTheorem .......................457
10.4.4 Summary of Properties of theFourierTransform ....... 461
10.5 Fourier Sine and CosineTransforms: The Heat Equation onSemi-In.niteIntervals ..........................463
10.5.1 Introduction ............................463
10.5.2 Heat Equationona Semi-In.niteIntervalI ...........463
10.5.3 Fourier Sine and CosineTransforms ............... 465
10.5.4 TransformsofDerivatives ....................466
10.5.5 Heat Equationona Semi-In.niteIntervalII .......... 467
10.5.6 Tables ofFourier Sine and CosineTransforms ......... 469
10.6Worked ExamplesUsingTransforms ....................473
10.6.1 One-DimensionalWave Equation on an In.nite Interval . . . 473
10.6.2 Laplace’s Equation in a Semi-In.nite Strip ........... 475
10.6.3 Laplace’s Equationina Half-Plane ...............479
10.6.4 Laplace’s Equation in a Quarter-Plane ............. 482
10.6.5 Heat Equationina Plane(Two-DimensionalFourier Transforms) ............................486
10.6.6 Table ofDoubleFourierTransforms ............... 490
10.7ScatteringandInverseScattering ......................495
11 Green’s Functions for Wave and Heat Equations 499
11.1Introduction .................................499
11.2 Green’sFunctions for theWave Equation ................. 499
11.2.1 Introduction ............................499
11.2.2 Green’sFormula for theWave Equation ............ 500
11.2.3 Reciprocity .............................502
11.2.4 UsingtheGreen’sFunction ...................504
11.2.5 Green’sFunction for theWave Equation ............ 506
11.2.6 Alternate Di.erential Equation for the Green’sFunction . . . 506
11.2.7 In.nite Space Green’sFunction for the One-Dimensional Wave Equation and d’Alembert’s Solution ........... 507
11.2.8 In.nite Space Green’sFunction for the Three-Dimensional Wave Equation (Huygens’ Principle) .............. 509
11.2.9 Two-Dimensional In.nite Space Green’sFunction ....... 511
11.2.10 Summary.............................. 511
11.3 Green’sFunctionsfortheHeat Equation .................514
11.3.1 Introduction ............................514
11.3.2 Non-Self-Adjoint Nature of the Heat Equation ......... 515
11.3.3 Green’sFormula for the Heat Equation ............. 516
11.3.4 AdjointGreen’sFunction .....................517
11.3.5 Reciprocity .............................518
11.3.6 Representation of the Solution Using Green’sFunctions . . . . 518
11.3.7 Alternate Di.erential Equation for the Green’sFunction . . . 520
11.3.8 In.nite Space Green’sFunction for the Di.usion Equation . . 521
11.3.9 Green’sFunction for the Heat Equation (Semi-In.niteDomain) ......................522
11.3.10 Green’sFunction for the Heat Equation (onaFiniteRegion) .......................523
12 The Method of Characteristics for Linear and Quasilinear Wave Equations 527
12.1 Introduction .................................527
12.2 Characteristics for First-OrderWave Equations .............. 528
12.2.1 Introduction ............................528
12.2.2 Method of Characteristics for First-OrderPartial Di.erential Equations .............................529
12.3 Method of Characteristics for the One-DimensionalWave Equation . . 534
12.3.1 GeneralSolution ......................... 534
12.3.2 InitialValue Problem (In.nite Domain) ............ 536
12.3.3 D’Alembert’sSolution ......................540
12.4 Semi-In.nite Stringsand Re.ections ....................543
12.5 Method of Characteristics for a Vibrating String ofFixedLength ............................... 548
12.6 The Method of Characteristics for QuasilinearPartial Di.erential Equations...................................552
12.6.1 MethodofCharacteristics ....................552
12.6.2 Tra.cFlow ............................553
12.6.3 Method of Characteristics(Q =0) ............... 555
12.6.4 ShockWaves............................ 558
12.6.5 QuasilinearExample .......................570
12.7 First-Order NonlinearPartial Di.erential Equations ........... 575
12.7.1 Eikonal Equation Derived from theWave Equation ...... 575
12.7.2 Solving the Eikonal Equation in UniformMedia andRe.ectedWaves .......................576
12.7.3 First-Order NonlinearPartial Di.erential Equations ...... 579
13 Laplace Transform Solution of Partial Di.erential Equations 581
13.1 Introduction .................................581
13.2 Propertiesofthe LaplaceTransform ....................581
13.2.1 Introduction ............................581
13.2.2 Singularities of the LaplaceTransform ............. 582
13.2.3 TransformsofDerivatives ....................586
13.2.4 ConvolutionTheorem .......................587
13.3 Green’sFunctions for InitialValue Problems for Ordinary Di.erentialEquations ............................591
13.4 A Signal ProblemfortheWave Equation .................593
13.5 A Signal Problemfora Vibrating StringofFinite Length ........597
13.6 TheWave Equation and Its Green’sFunction ............... 600
13.7 Inversion of LaplaceTransforms Using Contour Integrals intheComplexPlane ............................603
13.8 Solving theWave Equation Using LaplaceTransforms (withComplexVariables) .......................... 608
14 Dispersive Waves: Slow Variations, Stability, Nonlinearity, and Perturbation Methods 611
14.1 Introduction .................................611
14.2 DispersiveWavesand GroupVelocity ................... 612
14.2.1 TravelingWaves and the Dispersion Relation.......... 612
14.2.2 GroupVelocityI ......................... 615
14.3 WaveGuides .................................617
14.3.1 Response to ConcentratedPeriodic Sources withFrequency ωf ........................620
14.3.2 Green’sFunction If Mode Propagates .............. 620
14.3.3 Green’sFunction If Mode Does Not Propagate ......... 621
14.3.4 DesignConsiderations ......................622
14.4 FiberOptics .................................623
14.5 GroupVelocityII and the Methodof Stationary Phase ......... 627
14.5.1 MethodofStationaryPhase ...................628
14.5.2 Application to LinearDispersiveWaves ............. 630
14.6 SlowlyVaryingDispersiveWaves (GroupVelocity and Caustics) . . . . 634
14.6.1 Approximate Solutions ofDispersivePartial Di.erentialEquations .......................634
14.6.2 FormationofaCaustic ......................636
14.7 Wave Envelope Equations (ConcentratedWave Number) ........ 642
14.7.1 Schr¨odingerEquation .......................643
14.7.2 Linearized Korteweg–deVries Equation ............. 645
14.7.3 NonlinearDispersiveWaves: Korteweg–deVries Equation . . 647
14.7.4 SolitonsandInverse Scattering .................650
14.7.5 Nonlinear Schr¨odinger Equation ................. 652
14.8 StabilityandInstability ........................... 656
14.8.1 Brief OrdinaryDi.erential Equations and Bifurcation Theory ...............................656
14.8.2 Elementary Exampleofa Stable Equilibrium foraPartial Di.erentialEquation .......................663
14.8.3 Typical Unstable Equilibrium foraPartial Di.erential EquationandPatternFormation ................664
14.8.4 Ill-posedProblems ........................667
14.8.5 Slightly Unstable DispersiveWaves and the Linearized Complex Ginzburg–Landau Equation .............. 668
14.8.6 Nonlinear Complex Ginzburg–Landau Equation ........ 670
14.8.7 Long-WaveInstabilities ......................676
14.8.8 PatternFormation for Reaction–Di.usion Equations and the TuringInstability......................... 676
14.9 SingularPerturbation Methods: Multiple Scales ............. 683
14.9.1 Ordinary Di.erential Equation:Weakly Nonlinearly DampedOscillator ........................683
14.9.2 Ordinary Di.erential Equation: SlowlyVarying Oscillator . . 686
14.9.3 Slightly UnstablePartial Di.erential Equation on Fixed SpatialDomain .......................... 690
14.9.4 SlowlyVarying Medium for theWave Equation ........ 692
14.9.5 SlowlyVarying LinearDispersiveWaves (IncludingWeak NonlinearE.ects) .........................695
14.10 SingularPerturbation Methods: Boundary Layers Methodof Matched AsymptoticExpansions ... ........................ 700
14.10.1 Boundary Layer in an OrdinaryDi.erential Equation ..... 700
14.10.2 Di.usionofaPollutantDominatedbyConvection .......705
Bibliography 712
Answers to Starred Exercises 716