本书是实分析课程的优秀教材，被国外众多著名大学（如斯坦福大学、哈佛大学等）采用。全书分为三部分：第一部分为实变函数论，介绍一元实变函数的勒贝格测度和勒贝格积分；第二部分为抽象空间，介绍拓扑空间、度量空间、巴拿赫空间和希尔伯特空间；第三部分为一般测度与积分理论，介绍一般度量空间上的积分，以及拓扑、代数和动态结构的一般理论。书中不仅包含数学定理和定义，而且还提出了富有启发性的问题，以便读者更深入地理解书中内容。
无
H. L. Royden的《实分析》前三版已帮助了几代学习数学分析的学生. 第4版保持了前一版的目标与总体结构—为现代分析人员提供他们需要知道的测度论、积分论以及泛函分析的知识.
本书分为三部分：第一部分讨论一元实变量函数的Lebesgue测度与Lebesgue积分；第二部分讨论抽象空间—拓扑空间、度量空间、Banach空间以及Hilbert空间；第三部分讨论一般测度空间上的积分，以及拓扑、代数或动力结构下丰富的一般理论.
第二部分和第三部分的内容原则上不依赖于第一部分. 然而，第一部分在学生熟悉的背景下提出了新概念，这为第二部分和第三部分建立更为抽象的概念奠定了基础. 此外，在第一部分创立的Banach空间—Lp空间，是最为重要的Banach空间类之一. 建立Lp空间的完备性以及它们的对偶空间的主要理由是在这些空间上的泛函与算子的研究中能够运用泛函分析的标准工具. 第二部分的目标是创建这些工具.
第4版的主要更新
与前一版相比本版新增了50%的习题.
证明了一些基本的结果，包括Egoroff定理和Urysohn引理.
与若干其他概念一起正式给出了Borel-Cantelli引理、Chebychev不等式、快速Cauchy序列，以及测度与积分所共有的连续性质.
本书的每一部分都有一些值得留意的变动：
第一部分
给出了一致可积性的概念和Vitali收敛定理，它们是关于Lebesgue积分计算的基本定理证明的最重要部分.
Lp（E）（1≤p≤∞）空间中快速Cauchy序列的性质的精确分析现在是这些空间的完备性证明的基础.
详细讨论了Lp（E）（1≤p≤∞）空间中的弱序列紧性，它被用于证明连续凸泛函的最小值点的存在性.
第二部分
度量和拓扑空间的一般结构性质分为两个简短的章，在这两章中主要定理得到了证明.
对于Banach空间的处理，除了讨论有界线性算子的基本结果之外，还详细讨论了由Banach空间和它的对偶空间之间的对偶性诱导的弱拓扑的紧性.
新增一章讨论Hilbert空间上的算子，其中弱序列紧性是证明关于紧对称算子的特征向量上的Hilbert-Schmidt定理以及刻画由Riesz和Schuader给出的作用在Hilbert空间的指标为零的线性Fredholm算子的基础.
第三部分
建立了一般的测度与积分理论，包括Lp（X, ）（1≤p≤∞）空间的完备性及其对偶空间的表示，探讨了这些空间的弱序列紧性，包括刻画L1（X, ）空间中的弱序列紧性的Dunford-Pettis定理的证明.
对于紧Hausdorff空间X，为刻画C（X）的对偶讨论了拓扑与测度之间的关系. 通过紧性论据，这导致了关于紧群上唯一不变测度的存在性的von Neumann定理的证明，以及关于紧Hausdorff空间上的映射是遍历的概率测度的存在性的证明.
测度与积分的一般理论诞生于20世纪初. 它现在是概率论、偏微分方程、泛函分析、调和分析以及动力系统等备受关注的若干数学领域不可或缺的要素. 事实上，它已成为一个统一的概念. 许多不同的题材能够一致地用该理论处理积分与泛函分析之间的关系，特别是积分与弱收敛性之间的伴随关系，在这里得到强化：这在非线性偏微分方程的分析中是重要的（见L. C. Evans的书《Weak Convergence Methods for Nonlinear Partial Differential Equations》[AMS, 1990]）.
参考文献中列出了一些书，这些书在正文中没有被具体引用，但应作为补充材料和不同观点供查询. 特别是，列出了两本关于数学分析的有趣历史的书.
课程建议：第一学期
在第1章，建立了第一部分需要的所有实直线的初等分析与拓扑的背景知识. 这个初始章可作为便利的参考内容. 核心内容包括第2～4章、6.1～6.5节、第7章以及8.1节. 此外，以下内容可根据需要选择：8.2～8.4节对继续研究赋范线性空间的对偶性与紧性的学生是有意义的；而 5.3节包含经典分析的两个瑰宝—Lebesgue可积性的刻画与关于有界函数的Riemann可积性的刻画.
课程建议：第二学期
第二学期的课程应基于第三部分. 初始的核心材料包括17.1节、18.1～18.4节以及19.1～19.3节. 第17章的其余节可在开始或后面需要时讲解：17.3～17.5节在第20章之前讲授，17.2节在第21章之前讲授. 继而可讲授第20章. 这些都不依赖于第二部分. 几个备选题材需要涉及第二部分的内容.
建议1：证明Baire范畴定理及其关于连续函数序列的逐点极限的偏连续性的推论（第10章的定理7），从Riesz-Fischer定理推出Nikodym度量空间是完备的（第18章的定理23），证明Vitali-Hahn-Saks定理并接着证明Dunford-Pettis定理.
建议2：涵盖关于测度与拓扑的第21章（略去20.5节），假设拓扑空间是可度量化的，因此20.1节可被略去.
建议3：证明无穷维赋范线性空间的闭单位球关于由范数诱导的拓扑是非紧的Riesz定理，以此作为得到关于弱拓扑的序列紧性的动机. 接着，若Lq（X, ）是可分的，用Helley定理得到Lp（X, ）（1
针对已经上过前两学期课程的学生，我把附带一些补充材料的第二部分用于泛函分析课程.当然这些材料需要裁剪，以与第二学期所选取的材料很好地衔接. 关于Hilbert空间上的有界线性算子的第16章可在关于Banach空间上的有界线性算子的第13章之后讲授，因为关于弱序列紧性的结果从Hilbert空间的每个闭子空间的正交补的存在性可直接得到. 第二部分应与第三部分的备选题材穿插讲授，以提供抽象空间理论在积分上的应用. 例如，用第19章的材料可在一般的Lp（X, ）空间考虑自反性与弱紧性. 上面关于第二学期课程的建议1可用于第三学期而非第二学期，以给出Baire范畴定理的真正震撼的应用. 第21章中C（X）的对偶的表示（其中X是紧Hausdorff空间），提供了Helly、Alaoglu与Krein-Milman的定理适用的另一族空间—带号Radon测度的空间. 通过涵盖关于不变测度的第22章，学生将会接触到一些应用：用Alaoglu定理与Krein-Milman定理证明紧群上的Haar测度的存在性，使得映射是遍历的测度的存在性（第22章的定理14），以及用Helly定理证明不变测度的存在性（Bogoliubov-Krilov定理）.
欢迎读者通过pmf@math.umd.edu提供评论. 勘误与评注的清单将放在www.math.umd.edu/~pmf/RealAnalysis上.
致谢
很高兴地表达我对教师、同行和学生的感谢. 我诚挚感谢Diogo Arsénio，他读了完整手稿的倒数第二遍草稿，他的观察和建议改进了草稿. 在马里兰大学，我针对多个分析课程写了讲义. 这些讲义已融入当前版本. 我的分析课程的一些研究生彻底检查了该版本的部分手稿，他们的评论与建议非常有价值，他们是：Avner Halevy，J. J. Lee， Kevin McGoff，Himanshu Tiagi. 我特别感谢Brendan Berg，他创建了索引，校对了最后的手稿，友善地改进了我的tex技巧. 我从与许多朋友和同事的交谈中获益良多，他们是：Diogo Arsénio，Stu Antman，Michael Boyle，Michael Brin，Craig Evans，Manos Grillakis，Richard Hevener，Brian Hunt，Jacobo Pejsachowicz，Michael Renardy，Eric Slud，Robert Warner, JimYorke.
对于第4版的第三次印刷，我改正了前两次印刷的错误，这些错误是许多友善的读者，特别是我在马里兰大学的研究生指出来的. 我感谢Jose Renato Ramos Barbosa教授，他为我提供了几页勘误表. 特别的感谢给Richard Hevener，他严谨地找寻本书的错误，提供了许多关于表达的极好建议，并且仔细地排出了一个张贴在网站上的勘误清单. 我感谢Sam Punshon-Smith，他在解决几个令人烦恼和困难的手稿制作问题上提供了很好的帮助.
我诚挚感谢出版社与评审人员：J. Thomas Beale，杜克大学；Richard Carmichael，维克森林大学；Michael Goldberg，约翰霍普金斯大学；Paul Joyce，爱达荷大学；Dmitry Kaliuzhnyi-Verbovetskyi，德莱克斯大学；Giovanni Leoni，卡内基–梅隆大学；Bruce Mericle，曼卡多州立大学；Stephen Robinson，维克森林大学；Martin Schechter，加州大学欧文分校；James Stephen White，杰克逊维尔州立大学；ShanshuangYang，埃默里大学.
Patrick M. Fitzpatrick
马里兰大学帕克分校
数学
本书是实分析课程的优秀教材，被国外众多著名大学（如斯坦福大学、哈佛大学等）采用。全书分为三部分：第一部分讨论一元实变量函数的Lebesgue测度与Lebesgue积分；第二部分讨论抽象空间——拓扑空间、度量空间、Banach空间以及Hilbert空间；第三部分讨论一般测度空间上的积分，以及拓扑、代数和动态结构下丰富的一般理论。书中不仅包含数学定理和定义，而且还提出了富有启发性的问题，以便读者更深入地理解书中内容。
与上一版相比，第4版的主要更新如下：
新增了50%的习题。
证明了一些基本结果，包括Egoroff定理和Urysohn引理。
介绍了Borel-Cantelli引理、Chebychev不等式、快速Cauchy序列以及测度和积分所共有的连续性质。
第一部分 一元实变量函数的Lebesgue积分
第0章 集合、映射与关系的预备知识 3
0.1 集合的并与交 3
0.2 集合间的映射 4
0.3 等价关系、选择公理以及Zorn引理 5
第1章 实数集：集合、序列与函数 7
1.1 域、正性以及完备性公理 7
1.2 自然数与有理数 11
1.3 可数集与不可数集 13
1.4 实数的开集、闭集和Borel集 16
1.5 实数序列 20
1.6 实变量的连续实值函数 25
第2章 Lebesgue测度 29
2.1 引言 29
2.2 Lebesgue外测度 31
2.3 Lebesgue可测集的代数 34
2.4 Lebesgue可测集的外逼近和内逼近 40
2.5 可数可加性、连续性以及Borel-Cantelli引理 43
2.6 不可测集 47
2.7 Cantor集和Cantor-Lebesgue函数 49
第3章 Lebesgue可测函数 54
3.1 和、积与复合 54
3.2 序列的逐点极限与简单逼近 60
3.3 Littlewood的三个原理、Egoroff定理以及Lusin定理 64
第4章 Lebesgue积分 68
4.1 Riemann积分 68
4.2 有限测度集上的有界可测函数的
Lebesgue积分 71
4.3 非负可测函数的Lebesgue积分 79
4.4 一般的Lebesgue积分 85
4.5 积分的可数可加性与连续性 90
4.6 一致可积性：Vitali收敛定理 92
第5章 Lebesgue积分：深入课题 97
5.1 一致可积性和紧性：一般的Vitali收敛定理 97
5.2 依测度收敛 99
5.3 Riemann可积与Lebesgue可积的刻画 102
第6章 微分与积分 107
6.1 单调函数的连续性 108
6.2 单调函数的可微性：Lebesgue定理 109
6.3 有界变差函数：Jordan定理 116
6.4 绝对连续函数 119
6.5 导数的积分：微分不定积分 124
6.6 凸函数 130
第7章 Lp空间：完备性与逼近 135
7.1 赋范线性空间 135
7.2 Young、H鰈der与Minkowski不等式 139
7.3 Lp是完备的：Riesz-Fischer定理 144
7.4 逼近与可分性 150
第8章 Lp空间：对偶与弱收敛 155
8.1 关于Lp（1≤p＜∞）的对偶的Riesz表示定理 155
8.2 Lp中的弱序列收敛 162
8.3 弱序列紧性 171
8.4 凸泛函的最小化 174
第二部分 抽象空间：度量空间、
拓扑空间、Banach空间
和Hilbert空间
第9章 度量空间：一般性质 183
9.1 度量空间的例子 183
9.2 开集、闭集以及收敛序列 187
9.3 度量空间之间的连续映射 190
9.4 完备度量空间 193
9.5 紧度量空间 197
9.6 可分度量空间 204
第10章 度量空间：三个基本定理 206
10.1 Arzelà-Ascoli定理 206
10.2 Baire范畴定理 211
10.3 Banach压缩原理 215
第11章 拓扑空间：一般性质 222
11.1 开集、闭集、基和子基 222
11.2 分离性质 227
11.3 可数性与可分性 228
11.4 拓扑空间之间的连续映射 230
11.5 紧拓扑空间 233
11.6 连通的拓扑空间 237
第12章 拓扑空间：三个基本定理 239
12.1 Urysohn引理和Tietze延拓定理 239
12.2 Tychonoff乘积定理 244
12.3 Stone-Weierstrass定理 247
第13章 Banach空间之间的连续线性算子 253
13.1 赋范线性空间 253
13.2 线性算子 256
13.3 紧性丧失：无穷维赋范线性空间 259
13.4 开映射与闭图像定理 263
13.5 一致有界原理 268
第14章 赋范线性空间的对偶 271
14.1 线性泛函、有界线性泛函以及弱拓扑 271
14.2 Hahn-Banach定理 277
14.3 自反Banach空间与弱序列
收敛性 282
14.4 局部凸拓扑向量空间 286
14.5 凸集的分离与Mazur定理 290
14.6 Krein-Milman定理 295
第15章 重新得到紧性：弱拓扑 298
15.1 Helly定理的Alaoglu推广 298
15.2 自反性与弱紧性：Kakutani定理 300
15.3 紧性与弱序列紧性：Eberlein-mulian定理 302
15.4 弱拓扑的度量化 305
第16章 Hilbert空间上的连续线性算子 308
16.1 内积和正交性 309
16.2 对偶空间和弱序列收敛 313
16.3 Bessel不等式与规范正交基 316
16.4 线性算子的伴随与对称性 319
16.5 紧算子 324
16.6 Hilbert-Schmidt定理 326
16.7 Riesz-Schauder定理：Fredholm算子的刻画 329
第三部分 测度与积分：一般理论
第17章 一般测度空间：性质与构造 337
17.1 测度与可测集 337
17.2 带号测度：Hahn与Jordan分解 342
17.3 外测度诱导的Carathéodory测度 346
17.4 外测度的构造 349
17.5 将预测度延拓为测度：Carathéodory-Hahn定理 352
第18章 一般测度空间上的积分 359
18.1 可测函数 359
18.2 非负可测函数的积分 365
18.3 一般可测函数的积分 372
18.4 Radon-Nikodym定理 381
18.5 Nikodym度量空间：Vitali-Hahn-Saks定理 388
第19章 一般的Lp空间：完备性、对偶性和弱收敛性 394
19.1 Lp(X, )（1≤p≤∞）的完备性 394
19.2 关于Lp(X, )（1≤p<∞）的对偶的Riesz表示定理 399
19.3 关于L∞(X, )的对偶的Kantorovitch表示定理 404
19.4 Lp(X, )（1＜p＜∞）的弱序列紧性 407
19.5 L1(X, )的弱序列紧性：Dunford-Pettis定理 409
第20章 特定测度的构造 414
20.1 乘积测度：Fubini与Tonelli定理 414
20.2 欧氏空间Rn上的Lebesgue测度 424
20.3 累积分布函数与Borel测度 437
20.4 度量空间上的Carathéodory外测度与Hausdorff测度 441
第21章 测度与拓扑 446
21.1 局部紧拓扑空间 447
21.2 集合分离与函数延拓 452
21.3 Radon测度的构造 454
21.4 Cc(X)上的正线性泛函的表示：Riesz-Markov定理 457
21.5 C（X）的对偶的表示：Riesz-Kakutani表示定理 462
21.6 Baire测度的正则性 470
第22章 不变测度 477
22.1 拓扑群：一般线性群 477
22.2 Kakutani不动点定理 480
22.3 紧群上的不变Borel测度：von Neumann定理 485
22.4 测度保持变换与遍历性：Bogoliubov-Krilov定理 488
参考文献 495
Contents
I Lebesgue Integration for Functions of a Single Real Variable 1
0 Preliminaries on Sets, Mappings, and Relations 3
UnionsandIntersectionsofSets ............................. 3
Mappings Between Sets............................. 4
Equivalence Relations, the Axiom of Choice, and Zorn’s Lemma . . . . . . . . . . 5
1 The Real Numbers: Sets, Sequences, and Functions 7
1.1 The Field, Positivity, and Completeness Axioms . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 TheNaturalandRationalNumbers ........................ 11
1.3 CountableandUncountableSets ......................... 13
1.4 Open Sets, Closed Sets, and Borel Sets of Real Numbers . . . . . . . . . . . . 16
1.5 SequencesofRealNumbers ............................ 20
1.6 Continuous Real-Valued Functions of a Real Variable . . . . . . . . . . . . . 25
2 Lebesgue Measure 29
2.1 Introduction ..................................... 29
2.2 LebesgueOuterMeasure.............................. 31
2.3 The σ-AlgebraofLebesgueMeasurableSets .. .. .. .. .. ... .. .. . 34
2.4 Outer and Inner Approximation of Lebesgue Measurable Sets . . . . . . . . 40
2.5 Countable Additivity, Continuity, and the Borel-Cantelli Lemma . . . . . . . 43
2.6 NonmeasurableSets................................. 47
2.7 The Cantor Set and the Cantor-Lebesgue Function . . . . . . . . . . . . . . . 49
3 Lebesgue Measurable Functions 54
3.1 Sums,Products,andCompositions ........................ 54
3.2 Sequential Pointwise Limits and Simple Approximation . . . . . . . . . . . . 60
3.3 Littlewood’s Three Principles, Egoroff’s Theorem, and Lusin’s Theorem . . . 64
4 Lebesgue Integration 68
4.1 TheRiemannIntegral................................ 68
4.2 The Lebesgue Integral of a Bounded Measurable Function over a Set of FiniteMeasure.................................... 71
4.3 The Lebesgue Integral of a Measurable Nonnegative Function . . . . . . . . 79
4.4 TheGeneralLebesgueIntegral .......................... 85
4.5 Countable Additivity and Continuity of Integration . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.6 Uniform Integrability: The Vitali Convergence Theorem . . . . . . . . . . . . 92
5 Lebesgue Integration: Further Topics 97
5.1 Uniform Integrability and Tightness: A General Vitali Convergence Theorem 97
5.2 ConvergenceinMeasure .............................. 99
5.3 Characterizations of Riemann and Lebesgue Integrability . . . . . . . . . . . 102
6 Differentiation and Integration 107
6.1 ContinuityofMonotoneFunctions ........................ 108
6.2 Differentiability of Monotone Functions: Lebesgue’s Theorem . . . . . . . . 109
6.3 Functions of Bounded Variation: Jordan’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . 116
6.4 AbsolutelyContinuousFunctions ......................... 119
6.5 Integrating Derivatives: Differentiating Inde.nite Integrals . . . . . . . . . . 124
6.6 ConvexFunctions .................................. 130
7The Lp Spaces: Completeness and Approximation 135
7.1 NormedLinearSpaces ............................... 135
7.2 The Inequalities of Young, H older, and Minkowski . . . . . . 139
7.3 Lp IsComplete:TheRiesz-FischerTheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
7.4 ApproximationandSeparability.......................... 150
8The Lp Spaces: Duality and Weak Convergence 155
8.1 The Riesz Representation for the Dual of Lp, 1 ≤ p < ∞ ........... 155
8.2 Weak Sequential Convergence in Lp ....................... 162
8.3 WeakSequentialCompactness........................... 171
8.4 TheMinimizationofConvexFunctionals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
II Abstract Spaces: Metric, Topological, Banach, and Hilbert Spaces 181
9 Metric Spaces: General Properties 183
9.1 ExamplesofMetricSpaces ............................. 183
9.2 Open Sets, Closed Sets, and Convergent Sequences . . . . . . . . . . . . . . . 187
9.3 ContinuousMappingsBetweenMetricSpaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
9.4 CompleteMetricSpaces .............................. 193
9.5 CompactMetricSpaces ............................... 197
9.6 SeparableMetricSpaces .............................. 204
10 Metric Spaces: Three Fundamental Theorems 206
10.1TheArzela-AscoliTheorem `............................ 206
10.2TheBaireCategoryTheorem ........................... 211
10.3TheBanachContractionPrinciple......................... 215
11 Topological Spaces: General Properties 222
11.1 OpenSets,ClosedSets,Bases,andSubbases. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
11.2TheSeparationProperties ............................. 227
11.3CountabilityandSeparability ........................... 228
11.4 Continuous Mappings Between Topological Spaces . . . . . . . . . . . . . . . 230
Contents i.
11.5CompactTopologicalSpaces............................ 233
11.6ConnectedTopologicalSpaces........................... 237
12 Topological Spaces: Three Fundamental Theorems 239
12.1 Urysohn’s Lemma and the Tietze Extension Theorem . . . . . . . . . . . . . 239
12.2TheTychonoffProductTheorem ......................... 244
12.3TheStone-WeierstrassTheorem.......................... 247
13 Continuous Linear Operators Between Banach Spaces 253
13.1NormedLinearSpaces ............................... 253
13.2LinearOperators .................................. 256
13.3 Compactness Lost: In.nite Dimensional Normed Linear Spaces . . . . . . . . 259
13.4 TheOpenMappingandClosedGraphTheorems .. .. .. .. ... .. .. . 263
13.5TheUniformBoundednessPrinciple ....................... 268
14 Duality for Normed Linear Spaces 271
14.1 Linear Functionals, Bounded Linear Functionals, and Weak Topologies . . . 271
14.2TheHahn-BanachTheorem ............................ 277
14.3 Re.exive Banach Spaces and Weak Sequential Convergence . . . . . . . . . 282
14.4 LocallyConvexTopologicalVectorSpaces. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
14.5 The Separation of Convex Sets and Mazur’s Theorem . . . . . . . . . . . . . 290
14.6TheKrein-MilmanTheorem. ........................... 295
15 Compactness Regained: The Weak Topology 298
15.1 Alaoglu’sExtensionofHelley’sTheorem .. .. .. .. .. .. ... .. .. . 298
15.2 Re.exivity and Weak Compactness: Kakutani’s Theorem . . . . . . . . . . . 300
15.3 Compactness and Weak Sequential Compactness: The Eberlein-ˇSmulian Theorem ........................... 302
15.4MetrizabilityofWeakTopologies ......................... 305
16 Continuous Linear Operators on Hilbert Spaces 308
16.1TheInnerProductandOrthogonality....................... 309
16.2 The Dual Space and Weak Sequential Convergence . . . . . . . . . . . . . . 313
16.3 Bessel’sInequalityandOrthonormalBases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
16.4 AdjointsandSymmetryforLinearOperators . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
16.5CompactOperators ................................. 324
16.6TheHilbert-SchmidtTheorem ........................... 326
16.7 The Riesz-Schauder Theorem: Characterization of Fredholm Operators . . . 329
III Measure and Integration: General Theory 335
17 General Measure Spaces: Their Properties and Construction 337
17.1MeasuresandMeasurableSets........................... 337
17.2 Signed Measures: The Hahn and Jordan Decompositions . . . . . . . . . . . 342
17.3 The Carath′346
eodory Measure Induced by an Outer Measure . . . . . . . . . . .
17.4TheConstructionofOuterMeasures ....................... 349
17.5 The Carath′eodory-Hahn Theorem: The Extension of a Premeasure to a Measure ....................................... 352
18 Integration Over General Measure Spaces 359
18.1MeasurableFunctions................................ 359
18.2 Integration of Nonnegative Measurable Functions . . . . . . . . . . . . . . . 365
18.3 Integration of General Measurable Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
18.4TheRadon-NikodymTheorem .......................... 381
18.5 The Nikodym Metric Space: The Vitali–Hahn–Saks Theorem . . . . . . . . . 388
19 General LP Spaces: Completeness, Duality, and Weak Convergence 394
19.1 The Completeness of Lp.X, μ., 1 ≤p ≤∞ ................... 394
19.2 The Riesz Representation Theorem for the Dual of Lp.X, μ., 1 ≤p ≤∞ . . 399
19.3 The Kantorovitch Representation Theorem for the Dual of L∞.X, μ. .... 404
19.4 Weak Sequential Compactness in Lp.X, μ., 1
19.5 Weak Sequential Compactness in L1.X, μ. : The Dunford-Pettis Theorem . .. 409
20 The Construction of Particular Measures 414
20.1 Product Measures: The Theorems of Fubini and Tonelli . . . . . . . . . . . . 414
20.2 Lebesgue Measure on Euclidean Space Rn .................... 424
20.3 Cumulative Distribution Functions and Borel Measures on R ......... 437
20.4 Caratheodory Outer Measures and Hausdor ′ff Measures on a Metric Space 441
21 Measure and Topology 446
21.1LocallyCompactTopologicalSpaces ....................... 447
21.2 SeparatingSetsandExtendingFunctions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452
21.3TheConstructionofRadonMeasures....................... 454
21.4 The Representation of Positive Linear Functionals on Cc.X.:The Riesz-MarkovTheorem .................... 457
21.5 The Riesz Representation Theorem for the Dual of C.X. ........... 462
21.6 RegularityPropertiesofBaireMeasures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470
22 Invariant Measures 477
22.1 Topological Groups: The General Linear Group . . . . . . . . . . . . . . . . 477
22.2Kakutani’sFixedPointTheorem ......................... 480
22.3 Invariant Borel Measures on Compact Groups: von Neumann’s Theorem . . 485
22.4 Measure Preserving Transformations and Ergodicity: The Bogoliubov-Krilov Theorem .............. 488
Bibliography 495
