本书以Mathematica软件为平台，系统地介绍科学计算理论和方法。书中强调算法实践，以及结合Mathematica平台解决工程技术问题。主要内容包括线性代数方程组的数值方法、函数的数值逼近、数值积分、非线性方程与非线性方程组的数值解法、微分方程的数值计算，以及特征值与特征向量问题等。
本书适合作为信息、统计等理工专业的本科生，以及各工科专业的研究生、工程硕士的相关课程教材。也可以作为相关工程技术人员的参考书。
科学计算引论基于
Mathematica 的数值分析
徐安农◎主编
精品课程网站 http://ocw.guet.edu.cn/dept7/new/dzja.asp
本书以Mathematica为工具软件，深入浅出地介绍了数值计算的经典算法。主要内容包括数值逼近、数值代数和微分方程数值解三大部分。读者能通过本书培养科学计算能力，以适应现代计算机技术飞速发展情况下对高层次人才的要求。
本书特色
理论与实践并重。本书不仅对科学计算的基本概念和基本理论进行清晰、全面的阐述，而且关注应用，利用众多应用实例帮助读者理解基本知识和运用所学的算法解决实际问题。
内容安排循序渐进。本书先让读者对Mathematica这个工具软件有整体的认识，再从误差分析入手，介绍数值分析的基本思想方法。按照知识的相关性安排章节次序，使得使用本教材的老师讲授起来更加顺畅，尽可能减少知识的跳跃。
适用对象广泛。本书可以作为信息与计算科学专业本科教学的教材，也可以作为工科类研究生学习数值分析的教材。对于具有微积分、线性代数的数学基础，并有一定的计算机编程能力的科技人员，也能从本书中获益。
“数值分析”属于数学的一个分支—计算数学．它是研究如何利用计算工具求出数学问题的数值解的一门学问．在古代，人们用算筹来做算术计算．大约在宋元期间出现了珠算，珠算一直延续到19世纪中叶，广泛应用于各种场合．工程人员使用的计算尺是计算工具发展的一个重要标志，用计算尺可以做乘除、方幂、开方、对数等基本函数运算．这些计算工具都对数学的计算起到过重要的作用．然而，20世纪40年代发明的电子计算机，对计算数学的发展真正起到了革命性的推动作用．半个多世纪以来，计算数学的发展已经远远超越了其传统意义，成为现代意义上的计算科学，与理论研究、科学实验并立，成为科学发现的第三大科学方法．
在使用电子计算机进行数值计算的过程中，数学软件起着关键的作用．目前，在世界范围流行的数学软件主要有Mathematica、MATLAB、Maple等，本书选择Mathematica作为主要的计算软件．Mathematica是1988年美国Wolfram Research公司成功开发的综合性数学软件包．Wolfram Research是在美国物理学家Stephen Wolfram领导下的软件研发公司，多年来其软件和服务不断创新，迄今 Mathematica V7.0 For Windows版本已经在世界上广为流行．Mathematica面向的是具有一定的数学知识但并不具有很多计算机知识的科研工作者，因此在科研和高等院校中有着广泛的应用，世界排名前200位的大学、全球《财富》500强企业基本都在使用Mathematica软件．
本书内容分为9章，每章的理论部分内容与课堂教学的学时安排为：
第1章简要介绍数值计算的工具软件Mathematica．（建议学时：2）第2章给出误差理论的基本概念以及数值计算中应该注意的几个问题．（建议学时：4）第3章介绍数值线性代数的主要方法，对直接法和迭代法的算法设计和误差分析进行系统的讨论．（建议学时：8）第4章介绍经典的插值方法，包括牛顿插值、拉格朗日插值以及三次样条插值等．（建议学时：8）第5章介绍曲线拟合的最小二乘法和最佳平方逼近，并且给出正交多项式的定义、性质和常用的几类正交多项式．（建议学时：8）第6章系统地介绍数值积分和数值微分的常用算法，主要有牛顿-科茨积分公式、高斯型积分公式，以及迭代加速的理查逊外推法．（建议学时：8）第7章介绍非线性方程和非线性方程组的数值算法，重点讨论二分法、不动点迭代法、牛顿迭代法以及拟牛顿法．（建议学时：8）第8章介绍求矩阵特征值的经典算法，包括幂法、反幂法、雅可比算法和近代常用的QR算法．（建议学时：6）第9章系统地介绍常微分方程和常微分方程组的数值算法．（建议学时：8）
本书第2～9章分别给出8个数值实验，建议实验学时为12，可以选做其中的6个实验. 全书讲授共需72学时，各章实验要安排在理论课完成之后进行．任课教师可以根据教学安排来调整学时和选择重点介绍的内容．
本书适用于多层次、多专业和多学科的教学，在内容以及侧重点上都有所选择，讲究学以致用，贯彻数值分析与数值计算并重的思想，不过分追求理论的完整，着重基本和经典的算法，也注意介绍现代科学计算的最新方法．在学习算法的基础上想进一步研究和创新的学生，可以阅读书后给出的参考文献．
本书第1～5章由徐安农编写，第6～9章由彭丰富编写，李光云编写了各章的数值实验、全部习题及参考答案．由于水平的限制，本书错漏之处在所难免，欢迎广大读者批评指正．
本书的出版得到广西壮族自治区精品课程教材出版资助和区级优质专业应用数学的项目资助，特致感谢．
作 者
2010年5月于桂林电子科技大学
数学
本书以Mathematica为工具软件，深入浅出地介绍了数值计算的经典算法。主要内容包括数值逼近、数值代数和微分方程数值解三大部分。读者能通过本书培养科学计算能力，以适应现代计算机技术飞速发展情况下对高层次人才的要求。
本书特点：
理论与实践并重。本书不仅对科学计算的基本概念和基本理论进行清晰、全面的阐述，而且关注应用，利用众多应用实例帮助读者理解基本知识和运用所学的算法解决实际问题。
内容安排循序渐进。本书先让读者对Mathematica这个工具软件有整体的认识，再从误差分析入手，介绍数值分析的基本思想方法。按照知识的相关性安排章节次序，使得使用本教材的老师讲授起来更加顺畅，尽可能减少知识的跳跃。
适用对象广泛。本书可以作为信息与计算科学专业本科教学的教材，也可以作为工科类研究生学习数值分析的教材。对于具有微积分、线性代数的数学基础，并有一定的计算机编程能力的科技人员，也能从本书中获益。
精品课程网站http://ocw.guet.edu.cn/dept7/new/dzja.asp
出版者的话
前言
第1章 数值计算工具Mathematica 1
1.0 概述 1
1.1 Mathematica 入门 1
1.1.1 Mathematica的启动 1
1.1.2 Mathematica的菜单项 2
1.1.3 从Mathematica获得信息 3
1.1.4 使用Mathematica的函数 4
1.2 强大的绘图功能 5
1.2.1 基本作图命令 5
1.2.2 绘图的参数 8
1.2.3 动画功能 10
1.3 对数组和矩阵作运算 12
1.3.1 数组与矩阵的构造方法 13
1.3.2 获取数组或矩阵元素 13
1.3.3 矩阵的运算 14
1.3.4 集合运算 15
1.4 数值计算 15
1.4.1 矩阵的分解 16
1.4.2 求解线性方程组 18
1.4.3 曲线拟合 18
1.4.4 函数插值 19
1.4.5 数值积分 20
1.4.6 非线性方程和非线性方程组的数值解法 21
1.4.7 微分方程数值解 23
1.5 Mathematica编程 24
1.5.1 用户自定义函数 24
1.5.2 循环结构 25
1.5.3 条件与分支结构 26
1.6 本章小结 28
习题1 28
第2章 科学计算的基本概念 30
2.0 概述 30
2.0.1 科学计算的对象 30
2.0.2 用数值方法计算数学问题的过程 31
2.0.3 构造算法的基本手段与研究算法的核心问题 32
2.1 误差的概念 33
2.1.1 绝对误差的概念 33
2.1.2 相对误差和相对误差限 33
2.1.3 近似数的有效数字位 34
2.2 浮点数与舍入误差 35
2.2.1 计算机中数的表示 35
2.2.2 浮点运算和舍入误差 36
2.3 误差的传播 37
2.3.1 基本算术运算的误差 37
2.3.2 函数求值的误差 38
2.4 计算方法与计算复杂性 38
2.4.1 两个相近的数相减造成的有效位数丢失 39
2.4.2 防止计算中大数“吃”小数 39
2.4.3 减少计算的次数 40
2.4.4 Mathematica中精度数的计算 40
2.5 问题的病态性和算法的稳定性 41
2.5.1 Wilkinson多项式根与系数的敏感性 41
2.5.2 病态方程组 42
2.5.3 算法的稳定性 43
2.6 本章小结 44
第2章实验 误差理论 45
习题2 45
第3章 线性代数方程组的解法 47
3.0 概述 47
3.1 高斯消元法 49
3.1.1 顺序消元法 49
3.1.2 列选主元高斯消元法 53
3.1.3 行尺度主元消元法 55
3.2 矩阵的三角分解 56
3.2.1 矩阵的LU分解 56
3.2.2 对称正定矩阵的平方根法 60
3.2.3 三对角方程组的追赶法 62
3.3 矩阵的条件数和直接方法的误差分析 63
3.3.1 向量和矩阵的范数 64
3.3.2 条件数 66
3.4 解线性方程组的迭代法 70
3.4.1 雅可比迭代法 71
3.4.2 高斯-赛德尔迭代法 73
3.4.3 松弛迭代法 75
3.4.4 迭代法的收敛性及误差估计 76
3.5 应用实例 81
3.5.1 用高斯消元法求矩阵的行列式和逆矩阵 81
3.5.2 投入产出模型 82
3.5.3 用逆矩阵编写密电码 83
3.6 本章小结 83
第3章实验 线性方程组的直接法和迭代法 84
习题3 89
第4章 函数插值 94
4.0 概述 94
4.1 牛顿插值 94
4.1.1 一般的牛顿插值 95
4.1.2 等距节点的牛顿插值 97
4.2 拉格朗日插值 99
4.2.1 拉格朗日插值多项式的构造方法 99
4.2.2 插值的误差估计 100
4.2.3 拉格朗日插值算法在计算机上的实现 103
4.2.4 插值函数收敛性的进一步分析 105
4.3 埃尔米特插值 105
4.3.1 两点三次埃尔米特插值 106
4.3.2 n+1个节点埃尔米特插值 107
4.4 分段低次插值 108
4.4.1 分段线性插值 108
4.4.2 分段三次埃尔米特插值 110
4.4.3 保形插值 112
4.5 样条插值 113
4.6 应用实例 117
4.7 本章小结 118
第4章实验 函数插值 119
习题4 124
第5章 函数逼近与拟合 128
5.0 概述 128
5.1 最小二乘法与线性拟合 128
5.2 曲线拟合 132
5.3 正交多项式 136
5.3.1 内积空间 136
5.3.2 连续区间上的正交多项式 137
5.3.3 常用的正交多项式 139
5.3.4 离散点集上的正交多项式 141
5.4 最佳平方逼近 142
5.4.1 连续函数的最佳平方逼近 142
5.4.2 正交多项式拟合 144
5.5 应用实例 146
5.6 本章小结 149
第5章实验 拟合 149
习题5 153
第6章 数值积分与微分 156
6.0 概述 156
6.1 牛顿-科茨求积公式 157
6.1.1 插值型求积法 157
6.1.2 牛顿-科茨求积公式 158
6.1.3 牛顿-科茨公式的误差分析 160
6.2 复化求积公式 162
6.2.1 复化梯形求积公式 162
6.2.2 复化辛普森求积公式 163
6.2.3 事后误差估计 164
6.3 外推原理与龙贝格求积法 165
6.3.1 外推原理 165
6.3.2 龙贝格求积法 166
6.4 高斯求积公式 167
6.4.1 高斯求积公式的基本理论 167
6.4.2 常用高斯求积公式 169
6.4.3 高斯求积公式的余项与稳定性 171
6.5 数值微分 172
6.5.1 插值型求导公式 172
6.5.2 三次样条求导 174
6.5.3 数值微分的外推算法 174
6.6 应用实例 175
6.7 本章小结 177
第6章实验 数值积分计算 177
习题6 180
第7章 非线性方程和方程组的数值解法 182
7.0 概述 182
7.1 方程求根的二分法 183
7.2 一元方程的不动点迭代法 184
7.2.1 不动点迭代法及其收敛性 184
7.2.2 局部收敛性和加速收敛法 187
7.3 一元方程的常用迭代法 190
7.3.1 牛顿迭代法 190
7.3.2 割线法与抛物线法 192
7.4 非线性方程组的数值解法 194
7.4.1 非线性方程组的不动点迭代法 194
7.4.2 非线性方程组的牛顿法 197
7.4.3 非线性方程组的拟牛顿法 199
7.5 应用实例 201
7.6 本章小结 202
第7章实验 非线性方程求解 202
习题7 206
第8章 矩阵特征值问题的数值解法 209
8.0 概述 209
8.1 特征值问题的性质与估计 209
8.2 乘幂法和反幂法 210
8.2.1 乘幂法和加速方法 210
8.2.2 反幂法和原点位移 212
8.3 雅可比方法 214
8.4 QR算法 217
8.4.1 化矩阵为海森伯格形 217
8.4.2 QR算法及其收敛性 220
8.4.3 带原点位移的QR算法 222
8.5 应用实例 224
8.6 本章小结 225
第8章实验 矩阵特征值与特征向量的计算 226
习题8 230
第9章 常微分方程初值问题的数值解法 232
9.0 概述 232
9.1 欧拉方法 232
9.1.1 欧拉方法及其有关的方法 232
9.1.2 局部误差和方法的阶 235
9.2 龙格-库塔方法 236
9.2.1 龙格-库塔方法的基本思想 236
9.2.2 几类显式龙格-库塔方法 237
9.3 单步法的收敛性和稳定性 240
9.3.1 单步法的收敛性 240
9.3.2 单步法的稳定性 241
9.4 线性多步法 243
9.4.1 基于数值积分的方法 243
9.4.2 基于泰勒展开的方法 245
9.4.3 预估-校正算法 247
9.5 一阶微分方程组的数值解法 249
9.5.1 一阶微分方程组和高阶方程 249
9.5.2 刚性方程组 250
9.6 边值问题的数值解法 252
9.6.1 打靶法 252
9.6.2 差分方法 255
9.7 应用实例 257
9.8 本章小结 258
第9章实验 常微分方程初值问题 258
习题9 262
部分习题参考答案 265
参考文献 278
