本书系统地介绍了信息安全理论与技术所涉及的数论、代数、椭圆曲线等数学理论基础。全书共分为6章：第1章是绪论，介绍介绍现代密码学涉及的数学基础；第2章至第6章是数论基础，包括整除、同余、次数与原根、二次剩余和素数检验与整数分解等内容；第7章和第8章是代数系统，包括群、环、域的概念及其应用等内容；第9章是椭圆曲线，包括椭圆曲线的预备知识，椭圆曲线，椭圆曲线上的离散对数等内容；第10章离散对数。书中每章末都配有适量习题，以供学生学习和复习巩固书中所学内容。
本书是高等学校信息安全专业本科生的教材，也可作为信息科学技术类专业（如计算机科学技术、通信工程和电子科学技术等）本科生和研究生的教材，同时，也可以供从事信息安全和其他信息技术工作的人员参考。

封底:
随着计算机和网络技术的飞速发展和广泛应用，网络与信息安全问题日益凸显，网络空间安全理论与技术成为当前重要的研究领域。“信息安全数学基础”对网络空间安全理论与技术的深入学习具有重要的意义。本书依据《高等学校信息安全专业指导性专业规范》中关于“信息安全数学基础”的相关教学要求选取内容，并将编者多年来积累的实际教学经验融入其中，力求系统、全面地覆盖网络空间安全领域所涉及的数学基础知识。

主要特色
内容全面：本书包括预备知识、数论基础、抽象代数基础以及椭圆曲线，覆盖了网络空间安全领域所涉及的数学基础知识，书中所包含的数学结论都给出了详细的证明。
紧跟理论与技术进展：本书既包含网络空间安全领域所必需的基础数学理论，也包含供读者深入了解网络空间安全某个领域的理论与技术的最新进展所需的数学知识。
习题丰富：每节末都配有适量的习题，供学生复习和巩固书中所学内容。A组习题用于巩固课堂上所学习的内容和知识，B组习题用于拓展知识面以及培养学生的动手实践能力。
作者简介
贾春福　南开大学计算机与控制工程学院教授、博士生导师；中国密码学会教育工作委员会委员，天津市人民政府政策咨询专家，《电子与信息学报》等期刊编委。主要研究领域包括：计算机网络与系统安全、软件安全与恶意代码分析、密码技术应用和可信计算等。主持和参加国家973计划项目、国家“863”计划项目等12项、省部级项目10余项；发表论文120余篇，Google学术他引1500余篇次，获天津市自然科学二等奖1项。

计算机和网络技术的飞速发展和广泛应用，极大地促进了社会的发展，也彻底改变了人们的生活和工作方式．与此同时，网络与信息安全问题也更多地受到关注，网络空间安全理论与技术已经成为当前最为重要的研究领域之一，网络空间安全专门人才的培养受到了社会空前的重视．
“信息安全数学基础”是信息安全本科专业的基础课之一，对网络空间安全理论与技术（特别是网络空间安全的核心技术——密码技术）的深入学习具有重要的意义．本书是在南开大学信息安全专业“信息安全数学基础”课程授课讲义的基础上整理而成的．
全书分为4部分，共包括9章内容：
第一部分：预备知识（第1章），介绍书中后续章节所涉及的基本概念和基础知识，包括集合、关系、函数、映射与势以及拓扑空间等．
第二部分：数论基础（第2至5章），介绍数论的基本内容，包括整除（整数的因子分解）、同余、原根与指数、二次剩余以及数论的应用等内容．
第三部分：抽象代数基础（第6至8章），分别介绍群、环、域的概念和知识，以及初等伽罗瓦理论和有限域理论．
第四部分：椭圆曲线（第9章），介绍椭圆曲线的算术理论，包括仿射空间和射影空间、Weierstrass方程与椭圆曲线、椭圆曲线上的群结构、有限域上的椭圆曲线和椭圆曲线上的离散对数等内容．
书中每节末都配有适量的习题，供学生在复习和巩固书中所学内容时使用．习题包括A、B两组：A组主要用于巩固学生在课堂上所学的内容和知识，B组主要用于拓展学生的知识和技能．
本书依据《高等学校信息安全专业指导性专业规范》（清华大学出版社，2014）中关于“信息安全数学基础”的相关教学要求选取内容，并将编者多年积累的实际教学经验融入其中，力求知识系统化，能较好地覆盖网络空间安全领域所涉及的数学基础知识．书中所涉及的基础知识都进行了介绍，其中的数学结论都给出了详细的证明；书中所配的习题着力于帮助学生巩固所学的内容和拓展能力．本书适合高等学校信息安全、计算机科学技术和通信工程等专业本科生和研究生使用，也可供相关领域的科研人员和技术人员参考．
本书由贾春福、钟安鸣和杨骏编写．高敏芬老师、李瑞琪、梁爽、吕童童、田美琦、程晓阳和郑万通等参与了书稿的阅读和校对．由于时间仓促，书中难免有疏漏和不当之处，敬请读者批评指正．

编者
2016年10月于南开园

计算机\安全

信息安全数学基础
Essential Mathematics for Information Security
随着计算机和网络技术的飞速发展和广泛应用，网络与信息安全问题日益凸显，网络空间安全理论与技术成为当前重要的研究领域。“信息安全数学基础”对网络空间安全理论与技术的深入学习具有重要的意义。本书依据《高等学校信息安全专业指导性专业规范》中关于“信息安全数学基础”的相关教学要求选取内容，并将编者多年来积累的实际教学经验融入其中，力求系统、全面地覆盖网络空间安全领域所涉及的数学基础知识。

本书特色：
·内容全面。本书包括预备知识、数论基础、抽象代数基础以及椭圆曲线，覆盖了网络空间安全领域所涉及的数学基础知识，书中所包含的数学结论都给出了详细的证明。
·紧跟理论与技术进展。本书既包含网络空间安全领域所必需的基础数学理论，也包含供读者深入了解网络空间安全某个领域的理论与技术的最新进展所需的数学知识。
·习题丰富。每节末都配有适量的习题，供学生复习和巩固书中所学内容。A组习题用于巩固课堂上所学习的内容和知识，B组习题用于拓展知识面以及培养学生的动手实践能力。

贾春福 钟安鸣 杨骏 编著：
贾春福　南开大学计算机与控制工程学院教授，自2003年南开大学信息安全专业创建以来，一直负责本专业的建设工作，并承担了信息安全专业本科生“信息安全概论”和“信息安全数学基础”课程的教学工作。2010年以来，编写教材1部，完成教改项目5项，此外，还参与了教育部《高等学校信息安全专业指导性专业规范》的编写工作。科研方面主要从事计算机系统与网络安全、软件安全、可信计算、恶意代码分析等领域的研究工作。主持和参加国家“863”计划项目3项、国家攀登计划项目1项、国家自然科学基金项目6项、973计划项目1项。

前言
教学建议
第1章　预备知识 1
1.1　集合 1
1.2　关系 8
1.3　函数 17
1.4　映射和势 22
1.5　拓扑空间 25
第2章　整除 31
2.1　整除与带余除法 31
2.2　最大公因子与辗转相除法 35
2.3　算术基本定理 43
*2.4　完全数、梅森素数和费马素数 47
第3章　同余 51
3.1　同余的概念和性质 51
3.2　剩余类和剩余系 55
3.3　欧拉定理和费马小定理 59
3.4　扩展欧几里得算法和威尔逊定理 64
3.5　线性同余方程 68
3.6　中国剩余定理与同余方程组 71
*3.7　高次同余方程 81
第4章　原根与指数 88
4.1　次数 88
4.2　原根 94
4.3　指数与高次剩余 103
第5章 二次剩余 109
5.1　二次剩余的概念和性质 109
5.2　勒让德符号与二次互反律 113
5.3　雅可比符号 124
第6章 群 129
6.1　群 129
6.2　子群 133
6.3　循环群 136
6.4　置换群 140
6.5　陪集与商群 145
6.6　同态和同构 150
第7章　环 156
7.1　环 156
7.2　理想和商环 162
7.3　几类重要的环 168
7.4　素理想和极大理想 174
第8章　域 178
8.1　域上的多项式 178
8.2　域的代数扩张 183
8.3　分裂域与自同构 188
8.4　伽罗瓦理论初步 194
8.5　有限域 198
第9章　椭圆曲线 203
9.1　仿射空间与射影空间 203
*9.2　代数曲线 210
9.3　Weierstrass方程与椭圆曲线 214
9.4　椭圆曲线上的群结构 221
9.5　有限域上的椭圆曲线 227
9.6　椭圆曲线上的离散对数 232
索引 234
参考文献 239