本书旨在指导学生初步掌握数学建模的思想和方法，共分两大部分：离散建模和连续建模。本书对于用到的数学知识力求深入浅出，涉及的应用领域相当广泛，适合作为高等院校相关专业的数学建模教材和参考书，也可作为参加国内外数学建模竞赛的指导用书。

为及早向学生传授建模的知识,本教材的第1版是为了在讲授商业或工程微积分基础课程的同时或紧随其后开设数学建模课而构思设计的在第2版中,我们加进了讨论离散动力系统、线性规划和数值搜索法以及概率建模入门等内容此外,我们扩写了有关模拟(仿真)引论这一节在第3版中,我们把某些简单动力系统的求解方法列入本书以揭示解的长期行为我们在利用微分方程进行建模这一章中加进了基本的数值解法在本版（第4版）中，我们增加了讨论图论建模的新的一章图论是逐渐受到关注的对当代可能发生问题的建模进行深入研究的一个领域本章试图从数学建模的角度来介绍图论并鼓励学生对图论进行更深入的学习我们还在用微分方程建模这一章中增加了新的两节：有关分离变量和线性方程的讨论本书的许多读者表达了如下的愿望：应该将一阶微分方程的解析解作为学习数学建模课程的一部分包含在教材中本教材重新组织为两大部分: 第一部分离散建模(第1～9章)，第二部分连续建模(第10～13章)采用这种组织结构，可以在不要求用微积分的第一部分的基础上教授完整的建模课程第二部分讨论基于最优化和微分方程的连续建模,可以和大学一年级的微积分课程同时讲授本教材涉及数学建模过程中的所有阶段本教材所附的光盘包括了软件、额外的建模情景和研究课题,以及和美国大学生数学建模竞赛(Mathematical Contest in Modeling，MCM)过去赛题的链接我们要感谢Sol Garfunkel和数学及其应用联合会(Consortium for Mathematics and its Applications，COMAP) 的职员为制作光盘所做的工作以及对本前言后面标题为“教学资源”部分中提及的建模活动的支持
目标和定位
本课程一直是学习数学和应用数学之间的桥梁本书向学生提供了在学习数学的早期就了解应用问题的各部分是怎样捏合在一起的机会,包含大量数学科学、运筹学、工程、管理和生命科学等许多学术领域中常见的有意义和实际的问题
本教材介绍完整的建模过程,使学生实践以下数学建模的各个方面并能增强解决问题的能力：
1创造性和经验模型的构建:给定一种现实情景,学习识别问题、做出假设和收集数据、提出模型、测试假设、必要时精炼模型、在情况适宜时看看模型和数据是否一致,以及分析模型的基本数学结构以评价并不完全精确地满足假设时对结论的敏感性
2模型分析:给定一个模型,学会反向推理以揭示那些不一定是显式表示的基本假设,审慎严谨地评估这些假设和手头要处理的情景相符合的程度,并估计不完全精确地满足假设时对结论的敏感性
3模型研究:学生要研究一个特定的领域以获得对某些行为（性态）的更深入理解,并学会使用早已创建或早已知晓的模型和知识
对学生基础知识的要求和课程内容
因为我们的愿望是尽可能早地在课程中向学生传授建模的经验，所以仅在学习第10、11和12章时需要学生对一元微积分有基本的了解尽管在建模过程的组成部分中也要教某些不熟悉的数学概念和思想,但重点是应用中学毕业生早已了解的数学知识第一部分尤其如此建模课程将激励学生去学习诸如线性代数、微分方程、最优化和线性规划、数值分析、概率论和统计学这样的更高级的课程这些课程的作用在全书中都做了提示
此外,本教材中的情景和习题不是作为特定数学方法的应用而设计的这些情景和习题要求学生具有创造性智慧，能运用基本概念去求得没有确定答案的问题的合理解决方案本教材没有详细讲解某些数学方法(例如,蒙特卡罗模拟、曲线拟合和量纲分析),因为它们常常不是大学教材的正式内容教师应该发现本教材在通过习题和研究课题来满足学生的特殊需要而改编教材方面有很大的灵活性我们用本书既教过本科生的课程也教过研究生的课程,甚至用作教师讨论班的基本内容
本教材的内容组织

在美国许多学校开设预微积分（precalculus）课程，作为正式选修微积分课程前的必修课。——译者注借助于图1能最好地了解本教材的内容组织前九章组成第一部分，只要求预微积分（precalculus）课程的数学知识作为必需的预备知识我们从应用简单的有限差分方程对变化
图1章节组织和讲授次序进行建模的思想开始对学生来说，这种方法是相当直观的,而且为我们提供了若干具体模型来继续支持第2章对建模过程的讨论我们在第2章中对模型进行分类、分析建模过程以及构建在后两章中要再讨论的若干比例模型或子模型第3章向学生讲述用特殊类型的曲线去拟合所收集数据集的三个准则，重点是最小二乘准则第4章讨论怎样抓住所收集到的数据集的趋势在这种经验模型的构建过程中,我们从用简单的单项式模型去近似地拟合所收集到的数据集开始，并逐渐过渡到更为复杂的插值模型,包括多项式光滑模型和三次样条模型第5章讨论了模拟模型用一个经验模型来拟合某些收集到的数据,然后用蒙特卡罗模拟来复制所考察的行为或性态这种讲述方式最终促进了对概率论和统计学的学习
第6章提供了概率建模的一个引论，在前面讲过的情景和分析的基础上介绍了马尔可夫过程、可靠性以及线性回归等论题第7章利用第3章提出的另外两个准则讲述了寻求最优拟合模型的问题线性规划是用准则之一来寻求“最优”模型的方法,数值搜索方法可以作为另一个准则最后介绍包括二分法和黄金分割法在内的数值搜索方法第一部分的最后一章——第9章,专讲在物理和工程中极其重要的论题——量纲分析
第二部分用来学习连续模型第10章讨论连续图形模型的构建,探究所构建模型的敏感性,这些模型构建在假设的基础上在第11和12章中我们对动态的(随时间变化的)情景进行建模这两章是建立在第1章讲述的离散分析的基础上的,但现在考虑的是时间连续变化的情景第13章专讲连续优化学生有机会来求解只用到初等微积分的连续优化问题,该章还介绍了约束优化问题

由COMAP公司研发和销售分发的UMAP教学单元(Module).UMAP是Undergraduate Mathematics and Its Applications(数学及其应用)的缩写,同时也是一本在美国大学数学教学方面很有影响的季刊《The Journal of Undergraduate Mathematics and Its Applications》的缩写,该刊每年第三期刊登一年一度的美国大学生数学建模竞赛(Mathematical Contest in Modeling,MCM)和跨学科建模竞赛(Interdisciplinary Contest in Modeling,ICM)的总结、优秀论文和对优秀论文的评述Module是模块的意思,但在教学中它还有如下的意思: A unit of education or instruction with a relatively high teachertostudent ratio,in which a single topic or a small section of a broad topic is studied for a given period of time(一种有相当高师生比的教育或教授单元，其中的单个论题或一个大论题的小部分在给定阶段的时间内学习)——译者注学生研究课题
学生研究课题是任何建模课程必不可少的组成部分本教材包括了创造性模型和经验模型的构建、模型分析和模型研究方面的研究课题因此我们建议将包括数学建模所有三个方面的研究课题组合构成一门课程如果研究课题提出的情景没有唯一解,那么这些课题就是最有启发性的某些研究课题用到真实的数据,这些数据或者是提供给学生的，或者是学生不难收集到的把个人和小组的研究课题结合起来也是很重要的在教师希望开发学生的个人建模技巧时，采用个人研究课题是很合适的在课程的较早阶段，采用小组研究课题，将给学生一次“合力攻关”聚会的非常兴奋、激动的经验本教材推荐了多种多样的研究课题，诸如构建各种情景的模型,完成UMAP的教学单元，或研究教材、课堂中作为例子讲述的模型等对于每个学生来说,在整个课程中接受模型构建、模型分析或模型研究的多样性研究课题的组合并建立起信心是重要的学生也可能会选择一个特别感兴趣的情景研制模型,或分析在另一门课程中的模型在典型的建模课程中我们推荐5到8个短小的研究课题
就指派本教材涉及的情景、家庭作业习题和研究课题的数目而言，我们发现采用精心且完整地研制过的少量研究课题来做，效果会更好为了能在更大范围内选择许多应用领域中的问题，我们还提供了比可以合理指派的习题和研究课题更多的习题和研究课题
教学资源
我们发现COMAP提供的资料非常好，特别适用于我们建议的课程大学生课堂上适用的单个教学单元(即UMAP教学单元)可以以多种方式使用首先,它们可以用于某些课堂教学的教学素材学生可以通过做教学单元中的习题来自学该教学单元(可以很方便地去掉教学单元提供的详细解答)另一种方式就是采用本教材“研究课题”小节中建议的一个或多个UMAP教学单元把一组教学内容捏合在一起这些教学单元也提供了“模型研究”极好的原始资料,因为它们覆盖了数学在众多领域中的广泛应用这样做时,可以提供给学生一个适当的教学单元进行研究，要求学生完成该教学单元并做出报告最后,这些教学单元都是学生进行模型构建研究的极好的情景资源这样做时,教师可以基于某个特定的教学单元所处理的应用问题给学生写一个情景并利用该教学单元作为背景材料,或要求学生在稍后一些日子里完成该教学单元本教材所附的光盘包括教材中提及的大多数UMAP教学单元想获得新开发的跨学科课题的有关信息，可以写信给COMAP,地址是57 Bedford Street,Suite 210,Lexington,MA 02173,或打电话18007726627给COMAP,或发电子邮件给 order@comapcom
学生小组研究课题的主要来源就是美国大学生数学建模竞赛(MCM)和跨学科建模竞赛(Interdisciplinary Contest in Modeling，ICM)可以通过光盘提供的链接来获得这些课题,为了适合所教班级的特定目标，教师要做一些修改这些研究课题也是培训拟参加MCM和ICM的参赛队的极好资源,当前这两个竞赛是在美国国家安全局(National Security Agency，NSA)、美国工业与应用数学学会(Society for Industrial and Applied Mathematics，SIAM)、美国运筹学和管理科学学会(Institute for Operations Research and the Management Sciences，IORMS)以及美国数学协会(Mathematical Association of America，MAA)的资助下由COMAP主办的有关竞赛的更多信息可以和COMAP联系或访问他们的网站wwwcomapcom
技术的作用
技术是使用本教材来做数学建模的一个不可缺少的部分技术可以用来支持所有各章中的模型求解我们决定把各种技术的使用包括在所附的光盘中, 而不是把各种各样的技术直接纳入到教材里模型的解释中去在光盘中, 学生可以找到用Microsoft、Excel、Maple、Mathematica以及德州仪器公司生产的包括TI83和84系列在内的图形计算器写的样板程序
我们在以下课题（用Maple的指令和编程方法可以很好地支持这些课题）的讨论中解释Maple的使用方法: 差分方程、比例性、 拟合模型(最小二乘法)、经验模型、模拟、线性规划、量纲分析、用微分方程建模、用微分方程组建模以及连续模型的优化光盘中提供了出现于所提及的各章中的解释性例子的Maple活页练习题
用Mathematica来阐述它们在差分方程、比例性、拟合模型(最小二乘法)、经验模型、模拟、线性规划、图论、量纲分析、用微分方程建模、用微分方程组建模以及连续模型的优化中的使用方法光盘中提供了有关章节中解释性例子所用到的数学的电子数据表格
Excel是一种电子数据表格, 用它可以得到数值解, 而且可以方便地得到图形因此,用Excel来解释迭代过程和差分方程的图形解它也可以用作计算和画出以下内容的图形: 比例性函数、拟合模型、经验模型(此外, 它还可以用来做差分表，构造并画三次样条的图形)、蒙特卡罗模拟、线性规划(有关Excel求解器的说明)、用微分方程建模(用欧拉和龙格库塔方法的数值近似)、用微分方程组建模(数值解)以及离散和连续模型的优化(诸如二分法和黄金分割搜索那样的单变量优化的搜索方法)
TI计算器也是一种强有力的技术工具本教材的许多内容可以用TI计算器来完成我们用差分方程、比例性、 拟合模型、经验模型(幂次阶梯和其他变换)、模拟以及微分方程(构造数值解的欧拉方法)来说明TI计算器的使用方法
致谢
我们永远感谢在本书的研究和编写过程中给予帮助的每个人我们特别要感谢(已退休的)Jack MPollin准将和Carroll Wilde博士，感谢他们激发了我们教数学建模课程的兴趣以及对我们事业的支持和指导我们要感谢许多同事在审阅第1版的手稿以及在提出问题和修改意见方面的帮助,他们是Rickey Kolb、John Kenelly、Robert Schmidt、Stan Leja、Bard Mansager，特别是Steve Maddox和Jim McNulty
我们还受惠于本教材涉及的许多UMAP材料的作者或合作者,他们是David Cameron、Brindell Horelick、Michael Jaye、Sinan Koont、Stan Leja、Michael Wells和Carroll Wilde此外,我们要感谢Solomon Garfunkel以及整个COMAP公司的职员在编写本教材的研究课题方面提供的合作,特别要感谢Roland Cheyney在制作本教材所附的光盘方面提供的帮助我们也要感谢Tom ONeil及其学生对光盘的制作所做出的贡献以及在支持建模活动方面的有益建议我们要感谢Amy H. Erickson博士，感谢她对光盘和网站所做出的很多贡献
我们要感谢以下的评阅人：Stephen Alessandrini、RutgersCamden；中佛罗里达大学的John Cannon；索尔兹伯里州立大学的Donald Cathcart；埃尔姆赫斯特学院的Catherine Crawford；加利福尼亚州立大学圣贝纳迪诺分校的Hajrudin Fejzic；拉维恩大学的Michael Frantz；拉斐特学院的Larry Hill；基恩州立大学的Dick Jardine；方特博恩大学的Theresa Jeevanjee；科罗拉多西部州立学院的Andy Keck；克莱顿州立大学的Aprillya Lanz；佛罗里达国际大学的Abdelhamid Meziani；圣何塞州立大学的HoKuen Ng；阿肯色州立大学的William Paulsen；特洛伊州立大学的Ken Roblee；阿森斯州立学院的Todd Smith；马萨诸塞大学的Alexandros Sopasakis；克拉克森大学的Ray Toland
任何一本数学教材的产生都是一个复杂的过程,我们感到特别幸运的是有Brooks/Cole出版社高质量和创造性的职员队伍我们要特别向第1版的编辑Craig Barth、第2版的编辑Gary Ostedt以及第3版的编辑Gary Ostedt和Bob Pirtle表示感谢我们要感谢在第4版的出版过程中和我们一起工作的Brooks/Cole的所有工作人员，特别要感谢策划编辑 Charlie Van Wagner、课题开发编辑Stacy Green我们也要感谢Sara Plank和Matrix产品公司提供的产品服务。

数学

数学建模是用数学方法解决各种实际问题的桥梁。本书从离散建模（第1~9章）和连续建模（第10~13章）两部分介绍了整个建模过程的原理，通过本书的学习，学生将有机会在创造性模型和经验模型的构建、模型分析以及模型研究中得到亲身实践，增强解决问题的能力。
? 论证了离散动力系统、离散优化等技术对现代应用数学的发展的促进作用。
? 在创造性模型和经验模型的构建、模型分析以及模型研究中融入个人项目和小组项目，并且包含大量的例子和习题。
? 本版新增了关于图论建模的新的一章，从数学建模的角度介绍图论并鼓励学生对图论进行更深入的学习。此外，在第11章增加了有关分离变量和线性方程的讨论。
? 随书光盘中包含大学数学应用教学单元，过去的建模竞赛试题，充满活力的跨学科应用研究课题，利用电子表格（Excel）、计算机代数系统（Maple、Mathematica、Matlab）以及图形计算器（TI）等技术的广泛的例子，在实验室环境下为学生设计的例子和习题。

(美) Frank R.GiordanoWilliam P.FoxSteven B. Horton　　　　　著Maurice D.Weir：Frank R. Giordano 毕业于美国西点军校，曾任西点军校数学系系主任，现为美国海军研究生院教授，多年来一直是美国大学生数学建模竞赛的主要组织者，也是美国大学生数学建模竞赛组委会主任。 William P. Fox 曾任教于美国西点军校，现为美国海军研究生院教授，是美国中学生数学建模竞赛组委会主任。 Steven B. Horton 美国西点军校教授。 Maurice D. Weir 美国海军研究生院荣誉退休教授，曾任该校副教务长。

叶其孝　姜启源　等译：暂无简介

数学建模(Mathematical Modeling)是用数学方法解决各种实际问题的桥梁，随着计算机的发明和计算机技术的飞速发展，数学的应用日益广泛，数学建模的作用越来越重要，而且已经渗透到各种领域可以毫不夸张地说，数学和数学建模无处不在甚至报刊中也越来越多地出现数学建模、建模和数学模型这样的术语(包括它们的英文名称Mathematical Modeling、Modeling和Mathematical Model)，它们正在成为人们日常生活和语言交流中常见的术语
纵观历史，任何成功的技术必定会受到教育领域的重视，特别是高等教育更应该与时俱进，及时反映社会发展的需要近年来符号和模型的作用已经成为数学教育所关注的中心议题，世界各国越来越多的大学(甚至中学)开设了数学建模的必修或选修课数学教育界的一些有识之士认为，应该尽早地让学生学习并初步掌握数学建模的思想和方法，而且正在努力身体力行实际上，这样做不仅有利于培养学生解决实际问题的能力和创新精神，而且会使学生对数学有更深的理解，从而增强学习数学的兴趣和主动性，其结果必然是大大增强面对21世纪严峻挑战的竞争力
在我国，从20世纪80年代初开始就有一些大学开设数学建模课程20世纪90年代初开始举办的全国大学生数学建模竞赛更是取得了极大的成果，并推动了我国的数学教育改革我国数学教育界越来越多的人士也在研究如何尽早地让学生接触到数学建模的思想和方法在教育部的领导下，由全国大学生数学建模竞赛组委会组织和实施的研究课题“将数学建模思想和方法融入大学数学主干课程教学中的研究与试验”正是这种努力的一部分然而，要卓有成效地实现尽早地让学生学习并初步掌握数学建模的思想和方法,必须真正做到“以学生为中心、教师是关键、领导是保证”就教师是关键而言，如果没有教师自身和集体的钻研和实践，以及结合学生实际情况的因材施教，也不可能完成上述任务
我们翻译的这本书反映了美国几位教授在传播数学建模的思想和方法方面所做的努力该书第4版的四位作者分别为：Frank RGiordano教授，他曾任美国西点军校(美国军事学院，United States Military Academy)数学系系主任，现为美国海军研究生院(Naval Postgraduate School)教授，多年来一直是美国大学生数学建模竞赛(MCM)的主要组织者，也是美国大学生数学建模竞赛组委会的主任; William PFox教授，他也曾在美国西点军校任教，现为美国海军研究生院教授，他是美国中学生数学建模竞赛(HiMCM，即由COMAP于1999年开始组织的美国中学生数学建模竞赛)组委会的主任; Steven BHorton，他是美国西点军校的教授; Maurice DWeir，他是美国海军研究生院荣誉退休教授，曾任该校副教务长四位作者在应用数学研究、数学建模和微积分的教学方面富有经验并著有多部广受欢迎的教材
本书可以作为我国从事数学建模教学的教师学习和钻研的素材由于本书对于用到的数学知识力求深入浅出，涉及的应用领域又相当广，因此也适合作为各类高校数学教师的教学参考书和学生的课外读物或参加大学生数学建模竞赛的培训教材
本书由以下几位教授共同翻译：前言、所附光盘的内容以及第1、2、8章和附录D由叶其孝翻译，第3、4章由孙山泽翻译，第5、6章和附录A、B由姜启源翻译，第7、13章和附录C由谢金星翻译，第9、10章由王强翻译，第11、12章由唐云翻译叶其孝通校了全部译文
感谢机械工业出版社华章分社在引进本书以及编辑、出版过程中所做的努力，使广大读者及时得到本书的中译本

译者
2009年4月于北京

译者序
前言
光盘内容第1章对变化进行建模
例1测试比例性
11用差分方程对变化进行建模
例1储蓄存单
例2抵押贷款买房
12用差分方程近似描述变化
例1酵母培养物的增长
例2再论酵母培养物的增长
例3接触性传染病的传播
例4血流中地高辛的衰减
例5冷冻物体的加热
13动力系统的解法
例1再论储蓄存单
例2污水处理
例3地高辛处方
例4投资年金
例5活期储蓄账户
例6再论投资年金
14差分方程组
例1汽车租赁公司
例2特拉法尔加战斗
例3竞争猎兽模型——斑点
猫头鹰和隼
例4政党的投票趋势
第2章建模过程、比例性和几何
相似性
21数学模型
例1车辆的停止距离
22利用比例性进行建模
例1开普勒第三定律
23利用几何相似性进行建模
例1从不动的云层落下的雨滴
例2钓鱼比赛中的建模
例3“骇鸟”尺寸的建模
24汽车的汽油里程
25体重和身高、力量和灵活性
第3章模型拟合
31用图形为数据拟合模型
32模型拟合的解析方法
33应用最小二乘准则
34选择一个好模型
例1车辆的停止距离
第4章实验建模
41Chesapeake海湾的收成和其他的
单项模型
例1收获蓝鱼
例2收获蓝蟹
42高阶多项式模型
例1带式录音机的播放时间
43光滑化：低阶多项式模型
例1再论带式录音机的播放时间
例2再论带式录音机的播放时间
例3车辆的停止距离
例4酵母培养物的增长
44三阶样条模型
例1再论车辆的停止距离
第5章模拟方法建模
51确定行为的模拟：曲线下的
面积
52随机数的生成
53随机行为的模拟
54存储模型：汽油与消费需求
55排队模型
例1港口系统
例2早高峰时间
第6章离散概率模型
61离散系统的概率模型
例1再论汽车租赁公司
例2投票趋势
62部件和系统可靠性建模
例1串联系统
例2并联系统
例3串并联组合系统
63线性回归
例1美国黄松
例2再论钓鱼比赛
第7章离散模型的优化
71优化建模概述
例1确定生产计划方案
例2航天飞机的载货问题
例3分段线性函数逼近
72线性规划（一）：几何解法
例1木匠问题
例2数据拟合问题
73线性规划（二）：代数解法
例1木匠问题的代数解法
74线性规划（三）：单纯形法
例1再论木匠问题
例2使用单纯形表
75线性规划（四）：敏感性分析
76数值搜索方法
例1二分搜索方法
例2黄金分割搜索方法
例3再论模型拟合的准则
例4工业流程优化
第8章图论建模
81作为模型的图
82图的描述
83图模型
84利用图模型来解问题
例1求解最短路径问题
例2求解最大流问题
85与数学规划的联系
例1顶点覆盖
例2最大流
第9章量纲分析和相似性
91表示为乘积形式的量纲
例1再论单摆
例2作用在厢式运货车上的风力
92量纲分析的步骤
例1雨滴的落地速度
例2再论汽车油耗问题
93一个阻尼摆
94解释量纲分析的几个例子
例1爆炸分析
例2烤火鸡应当烤多久
95相似性
例1作用在潜艇上的阻力
第10章函数图表构成模型
101军备竞赛
例1民防
例2移动发射台
例3多弹头
例4再论多弹头分导再入运载系统：
弹头计数
102对分阶段军备竞赛建立模型
103管理不可再生资源：能源危机
104税收对于能源危机的影响
105汽油短缺和税收
第11章用微分方程建模
111人口增长
112对药剂量开处方
113再论刹车距离
114自治微分方程的图形解
例1画相直线及解曲线的草图
例2汤的冷却
例3再论逻辑斯谛增长
115数值近似方法
例1欧拉法的运用
例2再论储蓄存单
116分离变量法
例1
例2
例3
例4
例5
例6
例7
例8
例9再论牛顿冷却定律
例10再论资源有限的人口增长
117线性方程
例1
例2
例3
例4水污染
第12章用微分方程组建模
121一阶自治微分方程组的图形解
例1线性自治微分方程组
例2非线性自治微分方程组
122竞争捕猎模型
123捕食者食饵模型
124两个军事方面的例子
例1Lanchester 战斗模型
例2军备竞赛的经济方面
125微分方程组的欧拉方法
例1方程组的欧拉方法应用
例2轨线和解曲线
第13章连续模型的优化
131库存问题：送货费用和储存费用
最小化
132制造问题：竞争性产品生产中的利润
最大化
133约束连续优化
例1石油转运公司
例2航天飞机的水箱
134可再生资源的管理：渔业
附录A美国大学生数学建模竞赛试题
(1985~2008)
附录B电梯问题的模拟算法
附录C修正单纯形法
附录D积分方法简要复习
索引
参见华章网站（wwwhzbookcom）——编辑注